Все выпуски

Работа посвящена методу решения стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом. Задача фильтрации сформулирована в виде вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных функционалов. Для решения вариационного неравенства предлагается использовать итерационный метод расщепления.

The paper is devoted to a method of solving of stationary filtration problems of non-compressible fluid which follows the nonlinear multi-valued anisotropic law of filtration with limiting gradient. This problem mathematically is formulated in the form of variational inequality of the second kind in Hilbert space with inversely strongly monotone operator. The functional occurring in this variational inequality is a sum of several lower semi-continuous convex proper functionals. For solving the considered variational inequality the splitting method is offered.

Исследуются задачи о равновесии трансверсально-изотропной пластины с жесткими включениями. Предполагается, что пластина деформируется в рамках гипотез классической теории упругости. Задачи формулируются в виде минимизации функционала энергии пластины на выпуклом и замкнутом подмножестве пространства Соболева. Установлено, что предельный переход по геометрическому параметру в задачах о равновесии пластины с объемным включением приводит к задаче о пластине с тонким жестким включением. Исследован также случай отслоения тонкого жесткого включения - когда трещина в пластине расположена вдоль одного из берегов включения. В задаче о пластине с отслоившимся тонким включением на трещине задается нелинейное условие непроникания. Это условие имеет вид неравенства (типа Синьорини) и описывает взаимное непроникание противоположных берегов трещины. Для задачи с отслоившимся включением, при достаточной гладкости решения, установлена эквивалентность вариационной и дифференциальной формулировок. Также получены соотношения, описывающие контакт противоположных берегов трещины. Относительно каждой из рассмотренных вариационных задач установлена однозначная разрешимость.

We study the equilibrium problem of a transversely isotropic plate with rigid inclusions. It is assumed that the plate deforms under hypotheses of classical elasticity. The problems are formulated as the minimization of the plate energy functional on the convex and closed subset of the Sobolev space. It is established that, as the geometric parameter (the size) of the volume inclusion tends to zero, the solutions converge to the solution of an equilibrium problem of a plate with a thin rigid inclusion. Also the case of the delamination of an inclusion is investigated when a crack in the plate is located along one of the inclusion edges. In the problem of a plate with a delaminated inclusion the nonlinear condition of nonpenetration is given. This condition takes the form of a Signorini-type inequality and describes the mutual nonpenetration of the crack edges. For the problem with a delaminated inclusion, the equivalence of variational and differential statements is proved provided a sufficiently smooth solution. For each considered variation problem, unique solvability is established.

Рассматривается задача построения вершинного описания выпуклого полиэдра, заданного как множество решений некоторой системы линейных неравенств, коэффициенты которой являются алгебраическими числами. Обратная задача эквивалентна (двойственна) исходной. Предлагаются программные реализации нескольких модификаций хорошо известного метода двойного описания (метода Моцкина-Бургера), решающего поставленную задачу. Рассматривается два случая: 1) элементы системы неравенств - произвольные алгебраические числа, при этом каждое такое число задается минимальным многочленом и локализующим интервалом; 2) элементы системы неравенств принадлежат заданному конечному расширению ${\mathbb Q} (\alpha)$ поля ${\mathbb Q}$, при этом для $\alpha$ задаются минимальный многочлен и локализующий интервал, а все элементы исходной системы, конечные и промежуточные результаты представлены как многочлены от $\alpha$. Как и ожидалось, программная реализация для второго варианта значительно превосходит реализацию для первого варианта по производительности. Для большего ускорения во втором случае предлагается использовать булевы матрицы вместо матриц невязок. Результаты вычислительного эксперимента показывают, что программные реализации вполне пригодны для решения задач умеренных размеров.

We consider the problem of constructing the dual representation of a convex polyhedron defined as a set of solutions to a system of linear inequalities with coefficients which are algebraic numbers. The inverse problem is equivalent (dual) to the initial problem. We propose program implementations of several variations of the well-known double description method (Motzkin-Burger method) solving this problem. The following two cases are considered: 1) the elements of the system of inequalities are arbitrary algebraic numbers, and each such number is represented by its minimal polynomial and a localizing interval; 2) the elements of the system belong to a given extension ${\mathbb Q} (\alpha)$ of ${\mathbb Q}$, and the minimal polynomial and the localizing interval are given only for $\alpha$, all elements of the system, intermediate and final results are represented as polynomials of $\alpha$. As expected, the program implementation for the second case significantly outperforms the implementation for the first one in terms of speed. In the second case, for greater acceleration, we suggest using a Boolean matrix instead of the discrepancy matrix. The results of a computational experiment show that the program is quite suitable for solving medium-scale problems.

Рассматривается математическая модель о равновесии упругой пластины с двумя взаимно пересекающимися трещинами. Одна из трещин описывается частью плоскости, перпендикулярной срединной плоскости пластины, а другая — задается гладкой кривой в срединной плоскости. Нелинейность задачи обусловлена условиями непроникания в виде неравенств, заданных на кривых, соответствующих трещинам. Проводится анализ зависимости решений семейства вариационных неравенств от параметра, характеризующего вариацию длины прямолинейной трещины. На основе описанного семейства задач формулируется задача оптимального управления с функционалом качества, определенным с помощью формулы Гриффитса, которая характеризует возможность развития трещины вдоль заданной траектории. При этом управление задается числовым параметром, отвечающим за длину прямолинейной трещины. Доказано существование решения для задачи оптимального управления, установлена непрерывная зависимость решений в пространстве Соболева от изменения параметра длины трещины.

A mathematical model of the equilibrium of an elastic plate with two mutually intersecting cracks is considered. One of the cracks is described by a part of the plane perpendicular to the midplane of the plate, and the other is specified by a smooth curve in the midplane. The nonlinearity of the problem is due to the non-penetration conditions in the form of inequalities imposed on the curves corresponding to the cracks. An analysis is made of the dependence of solutions of a family of variational inequalities on a parameter characterizing the variation of the length of a rectilinear crack. Based on the described family of problems, an optimal control problem is formulated with a quality functional determined by the Griffiths formula, which characterizes the possibility of crack development along a given trajectory. In this case, the control is specified by a numerical parameter specifying the length of the rectilinear crack. The existence of a solution for the optimal control problem is proved, and a continuous dependence of solutions in the Sobolev space on a change in the crack length parameter is established.