Все выпуски

Работа посвящена изучению оценок скалярных произведений векторных полей и их применению при доказательстве разрешимости задач математической физики. В работе доказаны оценки скалярных произведений векторных полей в весовых функциональных пространствах суммируемых функций. В качестве примера применения таких оценок доказана разрешимость задачи об определении стационарного магнитного поля в трёхмерном евклидовом пространстве, содержащем ограниченную проводящую область. Также показана связь предложенной постановки задачи и соответствующей вариационной формулировки. Изучена возможность определения остальных неизвестных функций (электрического поля, объёмной плотности электрических зарядов) внутри проводящей подобласти.

The paper is devoted to studying of estimations of scalar products of vector fields and their application in the proof of solvability for mathematical physics problems. The estimations of scalar products of vector field were proved in weighted functional spaces of summable functions. As an example of the application of such estimations there was proved the solvability for the problem of determination of stationary magnetic field in whole three-dimensional Euclidian space containing bounded conducting domain. The association between the proposed problem statement and the corresponding variational statement was shown too. There was investigated the possibility of determination of another unknown functions (electric field, volume density of electrical charge) inside the conducting domain.

Работа посвящена вопросу об абсолютной непрерывности спектра двумерного обобщенного периодического оператора Шрёдингера $H_g+V=-\nabla g\nabla+V$, где непрерывная положительная функция $g$ и скалярный потенциал $V$ имеют общую решетку периодов $Λ$. Решения уравнения $(H_g+V)\varphi=0$ определяют, в частности, электрическое и магнитное поля для электромагнитных волн, распространяющихся в двумерных фотонных кристаллах. При этом функция $g$ и скалярный потенциал $V$ выражаются через диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$ и магнитную проницаемость $\mu$ ($V$ также зависит от частоты электромагнитной волны). Диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ может быть разрывной функцией (и обычно выбирается кусочно-постоянной), поэтому возникает задача об ослаблении известных условий гладкости для функции $g$, обеспечивающих абсолютную непрерывность спектра оператора $H_g+V$. В настоящей работе предполагается, что коэффициенты Фурье функций $g^{\pm\frac12}$ при некотором $q\in[1, \frac43)$ удовлетворяют условию $\sum\left(|N|^\frac12\left|\left(g^{\pm\frac12}\right)_N\right|\right)^q<+\infty$ и скалярный потенциал $V$ имеет нулевую грань относительно оператора $-Δ$ в смысле квадратичных форм. Пусть $K$ - элементарная ячейка решетки $Λ$, $K^*$ - элементарная ячейка обратной решетки $\Lambda^*$. Оператор $H_g+V$ унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов $H_g(k)+V$, где $k$ - квазиимпульс из $2\pi K^*$, действующих в $L^2(K)$. Последние операторы можно также рассматривать при комплексных векторах $k+ik'\in \mathbb{C}^2$. В статье используется метод Томаса. Доказательство абсолютной непрерывности спектра оператора $H_g+V$ сводится к доказательству обратимости операторов $H_g(k+ik')+V-\lambda$, $\lambda\in \mathbb{R}$, при определенным образом выбираемых комплексных векторах $k+ik'\in \mathbb{C}^2$ (зависящих от $g$, $V$ и числа $\lambda$) с достаточно большой мнимой частью $k'$.

The paper is concerned with the problem of absolute continuity of the spectrum of the two-dimensional generalized periodic Schrodinger operator $H_g+V=-\nabla g\nabla+V$ where the continuous positive function $g$ and the scalar potential $V$ have a common period lattice $\Lambda$. The solutions of the equation $(H_g+V)\varphi=0$ determine, in particular, the electric field and the magnetic field of electromagnetic waves propagating in two-dimensional photonic crystals. The function $g$ and the scalar potential $V$ are expressed in terms of the electric permittivity $\varepsilon$ and the magnetic permeability $\mu$ ($V$ also depends on the frequency of the electromagnetic wave). The electric permittivity $\varepsilon$ may be a discontinuous function (and usually it is chosen to be piecewise constant) so the problem to relax the known smoothness conditions on the function $g$ that provide absolute continuity of the spectrum of the operator $H_g+V$ arises. In the present paper we assume that the Fourier coefficients of the functions $g^{\pm\frac12}$ for some $q\in[1, \frac43)$ satisfy the condition $\sum\left(|N|^\frac12\left|\left(g^{\pm\frac12}\right)_N\right|\right)^q<+\infty$, and the scalar potential $V$ has relative bound zero with respect to the operator $-\Delta$ in the sense of quadratic forms. Let $K$ be the fundamental domain of the lattice $\Lambda$, and assume that $K^*$ is the fundamental domain of the reciprocal lattice $\Lambda^*$. The operator $H_g+V$ is unitarily equivalent to the direct integral of operators $H_g(k)+V$, with quasimomenta $k\in 2\pi K^*$, acting on the space $L^2(K)$. The last operators can be also considered for complex vectors $k+ik'\in \mathbb{C}^2$. We use the Thomas method. The proof of absolute continuity of the spectrum of the operator $H_g+V$ amounts to showing that the operators $H_g(k+ik')+V-\lambda$, $\lambda\in \mathbb{R}$, are invertible for some appropriately chosen complex vectors $k+ik'\in \mathbb{C}^2$ (depending on $g$, $V$, and the number $\lambda$) with sufficiently large imaginary parts $k'$.

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

We consider a non-local boundary value problem for a feedback control system described by a semilinear functional-differential inclusion of fractional order with infinite delay in a separable Banach space. The general principle of existence of solutions to the problem in terms of the difference from zero of the topological degree of the corresponding vector field is given. We prove a concrete example (Theorem 6) of the implementation of this general principle. The existence of an optimal solution to the posed problem is proved, which minimizes the given lower semicontinuous quality functional.

Классическим свойством периодической функции на вещественной оси является возможность ее представления тригонометрическим рядом Фурье. Естественным аналогом условия периодичности в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^m$ является постоянство интегралов от функции по всем шарам (или сферам) фиксированного радиуса. Функции с указанным свойством можно разложить в ряд Фурье по сферическим гармоникам, коэффициенты которого разлагаются в ряды по функциям Бесселя. Этот факт допускает обобщение на векторные поля в $\mathbb{R}^m$, имеющие нулевой поток через сферы фиксированного радиуса. В данной работе изучаются векторные поля с нулевым потоком через окружности фиксированного радиуса на плоскости Лобачевского $\mathbb{H}^2$. Получено описание таких полей в виде рядов по гипергеометрическим функциям. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных с гармоническим анализом векторных полей на областях в $\mathbb{H}^2$.

A classic property of a periodic function on the real axis is the possibility of its representation by a trigonometric Fourier series. The natural analogue of the periodicity condition in Euclidean space $\mathbb{R}^m$ is the constancy of integrals of a function over all balls (or spheres) of fixed radius. Functions with the indicated property can be expanded in a Fourier series in terms of spherical harmonics whose coefficients are expanded into series in Bessel functions. This fact can be generalized to vector fields in $\mathbb{R}^m$ with zero flux through spheres of fixed radius. In this paper we study vector fields which have zero flux through every circle of fixed radius on the Lobachevskii plane $\mathbb{H}^2$. A description of such fields in the form of series in terms of hypergeometric functions is obtained. These results can be used to solve problems concerning harmonic analysis of vector fields on domains in $\mathbb{H}^2$.

Вычисляется второй член асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки для некоторого класса векторных полей на плоскости, диаграмма Ньютона которых состоит из двух четных ребер. В таком случае главный член преобразования монодромии тождественен. Полученный результат дает достаточное условие фокуса для особой точки из рассматриваемого класса.

The second term of asymptotics of the monodromy map of the monodromic singular point is calculated for some class of vector fields in the plane with the Newton diagram having two even edges. In this case the principal term of the monodromy map is identical. The result obtained gives the sufficient condition for a singular point to be a focus.

Рассматривается трехмерная бидиффузионная конвекция в бесконечном по горизонтали слое несжимаемой жидкости в окрестности точек бифуркации Хопфа, взаимодействующая с полем горизонтальной завихренности. Методом многомасштабных разложений получено семейство амплитудных уравнений, описывающее вариации амплитуды конвективных ячеек, форма которых задаётся как суперпозиция конечного числа конвективных валиков с различными волновыми векторами.

Для численного моделирования полученных систем амплитудных уравнений были разработаны несколько численных схем, основанных на современных ETD (exponential time differencing) псевдоспектральных методах. Написаны пакеты программ для моделирования валиковой конвекции, а также конвекции с ячейками квадратного и гексагонального типов. Численное моделирование показало, что конвекция имеет вид вытянутых "облаков" или "нитей". Было замечено, что в системе достаточно быстро развивается состояние диффузионного хаоса, когда первоначальное симметричное состояние разрушается, и конвекция становится нерегулярной как по пространству, так и по времени. При этом в некоторых областях возникают пиковые всплески завихренности.

Three-dimensional double-diffusive convection in a horizontally infinite layer of an uncompressible liquid interacting with horizontal vorticity field is considered in the neighborhood of Hopf bifurcation points. A family of amplitude equations for variations of convective cells amplitude is derived by multiple-scaled method. Shape of the cells is given as a superposition of a finite number of convective rolls with different wave vectors.

For numerical simulation of the obtained systems of amplitude equations a few numerical schemes based on modern ETD (exponential time differencing) pseudospectral methods have been developed. The software packages have been written for simulation of roll-type convection and convection with square and hexagonal type cells. Numerical simulation has showed that the convection takes the form of elongated “clouds” or “filaments”. It has been noted that in the system quite rapidly a state of diffusive chaos is developed, where the initial symmetric state is destroyed and the convection becomes irregular both in space and time. At the same time in some areas there are bursts of vorticity.

Сопоставляя реальному пространству декартову систему координат (линейное векторное пространство), И. Ньютон рассматривал его как вместилище и не наделял какой-либо внутренней структурой. Такой подход приводит к феноменологическому описанию экспериментально наблюдаемых силовых полей и вынуждает каждому силовому полю сопоставлять источник. Некорректная, однако, весьма эффективная в вопросах статики интерпретация алгебры Клиффорда в виде аналитической геометрии, получившая повсеместное признание благодаря усилиям Хевисайда, не является алгеброй в ее математическом понимании. Следствием этого является, например, отсутствие в классической механике меры (спин), наблюдаемой экспериментально.
В отличие от такого подхода в работе реальному пространству сопоставляется векторное пространство, обладающее алгеброй Клиффорда, что позволяет вводить меры, связанные с понятиями триада, четыреада, и допускают совместное рассмотрение большого количества трехмерных полей. Объектам реальности, которые обозначаются терминами «заряд», «точечная масса», сопоставляются силовые поля, объясняющие результаты экспериментов, лежавших в основе квантовой механики в прошлом веке. Особенности силовых полей отнесены к особенностям метрики и допускают существование статически устойчивых образований без каких-либо дополнительных постулатов.

Assigning the Cartesian coordinate system to real space (linear vector space), I. Newton considered it as a container and didn't associate it with any internal structure. Such an approach leads to the phenomenological description of experimentally observed force fields and compels to attribute a source to each force field. Incorrect (but effective in the aspect of static) interpretation of Clifford algebra in the form of analytical geometry which gained universal recognition thanks to Heaviside's efforts is not algebra in its mathematical understanding. A corollary of this fact is, for example, the absence of concept of measure (spin) in classical mechanics that is experimentally observed.
In contrast to such approach, we assign the vector space having Clifford algebra to real space. This allows us to introduce measures connected with concepts of triad and quadruple and permits a joint consideration of a large number of three-dimensional fields. With objects of reality which are designated by terms of charge and dot mass we associate the force fields explicating the results of experiments that formed the basis of quantum mechanics last century. Features of force fields are referred to as features of a metric and permit existence of statically steady formations without any additional postulates.

Группой симметрии данного дифференциального уравнения называется группа преобразований, которые переводят решения уравнения в решения. Если известны инфинитезимальные образующие группы симметрий, то мы можем находить инвариантные решения относительно этой группы. Для систем уравнений с частными производным группу симметрий можно использовать, чтобы явно найти частные типы решений, которые сами являются инвариантными относительно некоторой подгруппы полной группы симметрий системы. Например, решения уравнения с частными производными от двух независимых переменных, инвариантные относительно заданной однопараметрической группы симметрий, находятся решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Класс инвариантных относительно группы решений включает в себя точные решения, имеющие непосредственное математическое или физическое значения. В работе с помощью известных инфинитезимальных образующих некоторых групп симметрий двумерного уравнения теплопроводности найдены решения, инвариантные относительно этих групп. Сначала рассматривается двумерное уравнение теплопроводности с источником тепловыделения (с источником теплопоглощения), которое описывает процесс распространения тепла на плоской области. Для этого случая найдено семейство точных решений, зависящее от произвольных постоянных. Затем найдены инвариантные решения уравнения теплопроводности без источника тепла и без источника поглощения.

The symmetry group of a given differential equation is the group of transformations that translate the solutions of the equation into solutions. If the infinitesimal generators of symmetry groups are known, then we can find solutions that are invariant under this group. For systems of partial differential equations, the symmetry group can be used to explicitly find particular types of solutions that are themselves invariant under a certain subgroup of the full symmetry group of the system. For example, solutions of an equation with partial derivatives of two independent variables, invariant under a given one-parameter symmetry group, are found by solving a system of ordinary differential equations. The class of solutions that are invariant with respect to a group includes many exact solutions that have immediate mathematical or physical meaning. In this paper, using the well-known infinitesimal generators of some symmetry groups of the two-dimensional heat conduction equation, solutions are found that are invariant with respect to these groups. First we consider the two-dimensional heat conduction equation with a source that describes the process of heat propagation in a flat region. For this case, a family of exact solutions was found, depending on an arbitrary constant. Then invariant solutions of the two-dimensional heat conduction equation without source are found.

Предметом настоящей работы является вопрос о стабильности вполне управляемых систем, заданных на гладком многообразии. Известно, что множества управляемости симметричных систем порождают сингулярные слоения. В случае, когда множества управляемости имеют одинаковую размерность, возникает регулярное слоение. Таким образом, возникает возможность применения методов теории слоений в задачах теории управления. В данной работе излагаются некоторые результаты авторов о возможности применения теорем о стабильности слоев для задачи о стабильности вполне управляемых систем и для изучения геометрии множества достижимости. Гладкость всюду в работе будет означать гладкость класса $C^{\infty}.$

The subject of this paper is the stability of completely controllable systems defined on a smooth manifold. It is known that the controllability sets of symmetric systems generate singular foliations. In the case when the controllability sets have the same dimension, a regular foliation arises. Thus, the possibility of applying the methods of foliation theory to control theory problems arises. This paper presents some of the authors' results on the possibility of applying the theorems on the stability of leaves to the problems on the stability of completely controllable systems and on the geometry of attainability sets. Smoothness throughout the work will mean smoothness of class $C^{\infty}$.

В статье рассмотрена редукция уравнений Кирхгофа-Пуассона задачи о движении твердого тела под действием потенциальных и гироскопических сил и уравнений задачи о движении твердого тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Получены аналоги уравнений Н. Ковалевского в указанных задачах. Построены два новых частных решения полиномиального класса Стеклова-Ковалевского-Горячева редуцированных дифференциальных уравнений рассматриваемых задач. Полиномиальное решение задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил характеризуется свойством: квадраты второй и третьей компонент вектора угловой скорости представлены квадратными многочленами от первой компоненты этого вектора, которая является эллиптической функцией времени. Полиномиальное решение уравнений движения твердого тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона характеризуется тем, что квадрат второй компоненты вектора угловой скорости - многочлен второго порядка, а квадрат третьей компоненты - многочлен четвертого порядка от первой компоненты этого вектора, которая находится в результате обращения гиперэллиптического интеграла.

In this paper we consider the reduction of Kirchhoff-Poisson equations related to the problem of rigid body motion under the action of potential and gyroscopic forces and also equations of the problem of rigid body motion taking into account the Barnett-London effect. For the above-mentioned problems, we obtain analogues of N. Kovalevski equations. In addition, for the above-mentioned problems we obtain two new particular solutions to the polynomial class of Steklov-Kovalevski-Goryachev reduced differential equations. The polynomial solution of the problem of gyrostat motion under the action of potential and gyroscopic forces is characterized by the following property: the squares of the second and the third vector component of angular velocity are quadratic polynomials of the first vector component that is an elliptic function of time. A polynomial solution of the equation of rigid body motion in a magnetic field (taking into account the Barnett-London effect) is characterized by the fact that the square of the second vector component of the angular velocity is the second-degree polynomial, while the square of the third component is the fourth-degree polynomial of the first vector component. The former is found as a result of an elliptic integral inversion.