Все выпуски

В работе вводится понятие правильной функции многих переменных $f\colon X\to\mathbb R$, где $X\subseteq\mathbb R^n$. В основе определения лежит понятие специального разбиения множества $X$ и понятие колебания функции $f$ на элементах разбиения. Показано, что всякая функция, заданная и непрерывная на замыкании $X$ открытого ограниченного множества $X_0\subseteq\mathbb R^n$, является правильной (принадлежит пространству $\langle{\rm G(}X),\|\cdot\|\rangle$). Доказана полнота пространства ${\rm G}(X)$ по $\sup$-норме $\|\cdot\|$. Оно является замыканием пространства ступенчатых функций. Во второй части работы определено и исследовано пространство ${\rm G}^J(X)$, отличающееся от пространства ${\rm G}(X)$ тем, что в его определении вместо разбиений используются $J$-разбиения, элементы которых — измеримые по Жордану открытые множества. Перечисленные выше свойства пространства ${\rm G}(X)$ переносятся на пространство ${\rm G}^J(X)$. В заключительной части работы определено понятие $J$-интегрируемости функций многих переменных. Доказано, что если $X$ — это измеримое по Жордану замыкание открытого ограниченного множества $X_0\subseteq\mathbb R^n$, а функция $f\colon X\to\mathbb R$ интегрируема по Риману, то она $J$-интегрируема. При этом значения интегралов совпадают. Все функции $f\in{\rm G}^J(X)$ являются $J$-интегрируемыми.

В предыдущей работе авторов введено понятие правильной функции многих переменных $f\colon X\to\mathbb R$, где $X\subseteq\mathbb R^n$. В основе определения лежит понятие специального разбиения множества $X$ и понятие колебания функции $f$ на элементах разбиения. Пространство ${\mathrm G}(X)$ таких функций банахово по $\sup$-норме и является замыканием пространства ступенчатых функций. В настоящей работе определено и исследовано пространство ${\mathrm G}^F(X)$, отличающееся от ${\mathrm G}(X)$ тем, что здесь в определении правильных функций многих переменных вместо специальных разбиений фигурируют $F$-разбиения: их элементами являются измеримые по обобщенной мере Жордана (по мере $m_{_{\!F}}$) непустые открытые множества. (Через $F$ обозначена функция, порождающая меру $m_{_{\!F}}$.) Во второй части работы определено понятие $F$-интегрируемости функций многих переменных. Доказано, что если $X$ — это измеримое по мере $m_{_{\!F}}$ замыкание непустого открытого ограниченного множества $X_0\subseteq{\mathbb R}^n$, а функция $f\colon X\to {\mathbb R}$ интегрируема в смысле Римана–Стилтьеса относительно меры $m_{_{\!F}}$, то она $F$-интегрируема. При этом значения кратных интегралов совпадают. Все функции из пространства ${\mathrm G}^F(X)$ являются $F$-интегрируемыми. Доказаны основные свойства $F$-интеграла Римана–Стилтьеса.

Классическая система реакции-диффузии — система Шнакенберга — рассматривается в ограниченной области $m$-мерного пространства, на границе которой предполагаются выполненными краевые условия Неймана. Изучается диффузионная неустойчивость стационарного пространственно-однородного решения этой системы, называемая также неустойчивостью Тьюринга, возникающая при изменении коэффициента диффузии $d.$ Путем анализа линеаризованной системы в бездиффузионном и диффузионном приближениях получено аналитическое описание области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы. Показано, что одна из границ области необходимых условий является огибающей семейства кривых, ограничивающих область достаточных условий. При этом точки пересечения двух соседних кривых лежат на прямой, угловой коэффициент которой зависит от собственных значений оператора Лапласа в рассматриваемой области и не зависит от коэффициента диффузии. Найдено аналитическое выражение критического коэффициента диффузии, при котором происходит потеря устойчивости положения равновесия системы. Указаны условия, в зависимости от которых множество волновых чисел, соответствующих нейтральным модам устойчивости, счетно, конечно или пусто. Показано, что полуось $d>1$ можно представить в виде счетного объединения полуинтервалов, каждому из которых соответствует минимальное волновое число, при котором происходит потеря устойчивости, причем точки разбиения полуоси выражаются через собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области.

Рассматривается нелинейная управляемая система в конечномерном евклидовом пространстве и на конечном промежутке времени, зависящая от параметра. Изучаются множества достижимости и интегральные воронки дифференциального включения, соответствующего управляемой системе, содержащей параметр. При исследовании многочисленных задач теории управления и дифференциальных игр, конструировании их решений и оценивании погрешностей применяются различные теоретические подходы и ассоциированные с ними вычислительные методы. К упомянутым задачам принадлежат, например, различного рода задачи о сближении, разрешающие конструкции которых могут быть описаны достаточно просто в терминах множеств достижимости и интегральных воронок. В настоящей работе изучается зависимость множеств достижимости и интегральных воронок от параметра: оценивается степень этой зависимости от параметра при определенных условиях на управляемую систему. Степень зависимости интегральных воронок исследована на предмет изменения их объема при варьировании параметра. Для оценки этой зависимости вводятся системы множеств в фазовом пространстве, аппроксимирующие множества достижимости и интегральные воронки на заданном промежутке времени, отвечающие конечному разбиению этого промежутка. При этом сначала оценивается степень зависимости аппроксимирующей системы множеств от параметра, и затем эта оценка используется при оценке зависимости объема интегральной воронки дифференциального включения от параметра. Такой подход естественен и особенно полезен при изучении конкретных прикладных задач управления, при решении которых в конечном итоге приходится иметь дело не с идеальными множествами достижимости и интегральными воронками, а с их аппроксимациями, отвечающими дискретному представлению временного промежутка.

Пусть $X_0\subseteq\mathbb R^n$ — непустое открытое множество и $X_0\subseteq X\subseteq\overline X_0$. Допускается, что множество $X_0$ не ограничено и/или имеет счетное число компонент связности. В работе исследуются некоторые пространства функций $f\colon X\to\mathbb R$, наделенные специальной нормой $\|\cdot\|$. В определении нормы фигурирует $n$-мерный вектор $(\Delta x)^{-1}\Delta f$, являющийся аналогом отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, порождающего понятие производной функции одной переменной. Вектор $(\Delta x)^{-1}\Delta f$ можно ассоциировать с вектором $\mathrm{grad}\,f(\cdot)$. Обратимая матрица $\Delta x$ порядка $n$ состоит из специальных приращений аргумента ${x\in \mathbb R^n}$, а вектор $\Delta f$ состоит из специальных приращений функции $f$. Доказан ряд свойств вектора $(\Delta x)^{-1}\Delta f$, получена точная формула для его евклидовой нормы. Доказана полнота по специальной норме $\|\cdot\|$ пространства $\mathcal G(X)$, состоящего из непрерывных ограниченных функций $f\colon X\to\mathbb R$ и имеющих дополнительные ограничения типа ограничений Липшица–Гёльдера. Подобные функции играют важную роль при решении задач математической физики. Исследован ряд актуальных подпространств пространства $\mathcal G(X)$, доказано, что два из них банаховы, одно из них при $n=1$ и при определенных условиях является замыканием пространства кусочно-линейных функций $f\colon X\to\mathbb R$.

Работа посвящена проблеме построения наилучшего аппроксимирующего покрытия ограниченного плоского множества M конечным набором кругов одного радиуса. Проблема считается решенной, если удалось построить наилучшую в смысле хаусдорфовой метрики n-сеть рассматриваемого множества. В работе приведены достаточные условия оптимальности n-сети, предложен алгоритм построения наилучших сетей на основе разбиения M на подмножества и отыскания их чебышевских центров. Эффективность созданного алгоритма показана на примерах множеств с различной геометрией.

Рассматривается задача стабилизации около нуля в условиях воздействия помехи и неточных данных в терминах дифференциальной игры преследования. Динамика описывается нелинейной автономной системой дифференциальных уравнений. Множество значений управлений преследователя является конечным, убегающего (помехи) — компакт. Целью управления, то есть целью преследователя, является приведение, в рамках конечного времени, траектории в любую наперед заданную окрестность некоторого шара с центром в нуле и ненулевым радиусом вне зависимости от действий помехи. Управление преследователя определяется в дискретные моменты времени на основании момента разбиения и значения из фазового пространства, которое равно сумме фазовых координат в момент разбиения и значения некоторой вспомогательной функции. Значение вспомогательной функции ограничено по норме наперед заданной величиной, которая считается известной преследователю. В работе получены условия соотношения параметров задачи и числа, которое ограничивает норму вспомогательной функции, позволяющие осуществить поимку в указанном смысле. Выигрышное управление строится конструктивно и использует фиксированный шаг разбиения временного интервала. Кроме того, получена оценка времени поимки.

Исследование посвящено построению параллельного алгоритма решения задачи «на узкие места», связанного с поиском разбиения конечного множества заданий на конечное число исполнителей (работников). Описывается алгоритм нахождения оптимального разбиения заданий с использованием метода динамического программирования с элементами параллельных вычислений при построении массива значений функции Беллмана. Выполнена оценка вычислительной сложности двух алгоритмов (с использованием и без использования параллельной структуры). Создана программа, с помощью которой проведен вычислительный эксперимент по решению поставленной задачи на суперкомпьютере «УРАН». Выполнен сравнительный анализ реализации алгоритмов как с использованием, так и без использования параллельной структуры. Представлена зависимость времени счета реализованной программы на суперкомпьютере от количества вычислительных ядер.

Изучается задача об оптимальном покрытии выпуклых множеств на плоскости объединением заданного числа $n$ кругов одинакового радиуса. Критерий оптимальности заключается в минимизации радиуса кругов, что позволяет свести задачу оптимизации к задаче построения наилучшей чебышёвской $n$-сети выпуклого множества. В работе предложены и обоснованы численные методы, базирующиеся на разбиении множества на области Дирихле и отыскании так называемых характерных точек. Одним из ключевых элементов методов является построение чебышёвского центра компактного выпуклого множества. Представлены стохастические алгоритмы генерации начального положения точек $n$-сети. Проведено моделирование ряда примеров и выполнена визуализация построенных покрытий.

Рассматривается решение дифференциальной игры сближения-уклонения с использованием метода программных итераций. Основная цель состоит в построении множества позиционного поглощения, соответствующего разбиению пространства позиций игры, отвечающему фундаментальной теореме об альтернативе Н.Н. Красовского, А.И. Субботина. Для построения используется оператор программного поглощения, определяемый целевым множеством в задаче о сближении. Множество, формирующее фазовые ограничения, поэтапно преобразуется упомянутым оператором, реализуя последовательность, предел которой совпадает с множеством позиционного поглощения. Предполагается, что целевое множество замкнуто, а множество, определяющее фазовые ограничения исходной задачи, имеет замкнутые сечения, каждое из которых соответствует фиксации момента времени. Установлены свойства, имеющие смысл односторонней непрерывности множества позиционного поглощения при изменении множеств, определяющих исходную дифференциальную игру. Показано, что предел итерационной процедуры совпадает с множеством успешной разрешимости в классе многозначных обобщенных квазистратегий.