Все выпуски

Работа посвящена изучению оценок скалярных произведений векторных полей и их применению при доказательстве разрешимости задач математической физики. В работе доказаны оценки скалярных произведений векторных полей в весовых функциональных пространствах суммируемых функций. В качестве примера применения таких оценок доказана разрешимость задачи об определении стационарного магнитного поля в трёхмерном евклидовом пространстве, содержащем ограниченную проводящую область. Также показана связь предложенной постановки задачи и соответствующей вариационной формулировки. Изучена возможность определения остальных неизвестных функций (электрического поля, объёмной плотности электрических зарядов) внутри проводящей подобласти.

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

В работе предложено обобщение теоремы Надлера о неподвижных точках для многозначных отображений действующих в метрических пространствах. Полученный результат позволяет изучать существование неподвижных точек у многозначных отображений, которые не обязательно являются сжимающими, и даже непрерывными, относительно метрики Хаусдорфа, и образами которых могут быть произвольные множества соответствующего метрического пространства. Упомянутый результат можно использовать для исследования дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений с разрывами, а также включений, правые части которых порождены многозначными отображениями с произвольными образами. Во второй части работы, в качестве приложения, получены условия существования и продолжаемости решений задачи Коши для дифференциального включения с некомпактной правой частью в пространстве Rⁿ.

Для задачи оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечным фазовым ограничением типа равенства и конечным числом функциональных ограничений типа равенства и неравенства формулируется устойчивый секвенциальный, или, другими словами, регуляризованный, принцип максимума Понтрягина в итерационной форме. Его главное отличие от классического принципа максимума Понтрягина заключается в том, что он, во-первых, формулируется в терминах минимизирующих последовательностей, во-вторых, имеет форму итерационного процесса в пространстве двойственных переменных и, наконец, в-третьих, устойчиво к ошибкам исходных данных оптимизационной задачи порождает в ней минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги, т.е. представляет собою регуляризирующий алгоритм. Доказательство регуляризованного принципа максимума Понтрягина в итерационной форме опирается на методы двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации.

Изучение фазового перехода является одной из центральных проблем статистической механики. Он происходит, когда для модели существуют по крайней мере две различные меры Гиббса. Известно, что для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями при достаточно низких температурах существуют не более $2^{q}-1$ трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса. Для непрерывных гамильтонианов меры Гиббса образуют непустое, выпуклое, компактное подмножество в пространстве всех вероятностных мер. Экстремальные меры, которые соответствуют крайним точкам этого множества, определяют чистые фазы. Мы изучаем экстремальность трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли третьего порядка. Мы определяем области, в которых изучаемые трансляционно-инвариантные меры Гиббса для этой модели являются экстремальными или не являются экстремальными. Мы сводим описание мер Гиббса к решению нелинейного функционального уравнения, каждое решение которого соответствует одной предельной мере Гиббса.

В работе исследуется задача управляемости для систем функциональных включений с каузальными операторами и импульсными характеристиками в банаховых пространствах. Основным результатом работы является глобальная теорема существования траекторий для систем, описываемых функциональными включениями с импульсными характеристиками. Доказательство основано на теории топологической степени для уплотняющих многозначных отображений. В качестве приложений основного результата получены обобщенные теоремы существования для систем двух важных классов: полулинейных дифференциальных включений первого порядка и полулинейных дифференциальных включений дробного порядка $0<q<1$.

Исследуется сопряженное пространство непрерывных линейных функционалов пространства C_rc(X) . В работе rc обозначает C-компактно-открытую топологию на C(X), множестве всех вещественнозначных функций на тихоновском пространстве X. Так как сопряженное пространство соотносится с пространством мер, то получена характеристика сопряженного пространства к C_rc(X) с точки зрения теории меры. Исследуется свойство сепарабельности сопряженного пространства.

Сформулированы теоремы о существовании решений, оценках решений и корректной разрешимости уравнений с накрывающими отображениями в произведении метрических пространств. Рассмотрены условия накрывания оператора Немыцкого в функциональных пространствах. Утверждения о накрывающих отображениях применяются к исследованию управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, не разрешенными относительно производной искомой функции. Получены условия существования решений и их оценки, а также исследован вопрос непрерывной зависимости решений от параметров управляемых систем дифференциальных уравнений со смешанными ограничениями на управление и дополнительным ограничением на производную решения.

Рассматривается регуляризация принципа Лагранжа (ПЛ) в выпуклой задаче условной оптимизации с операторным ограничением-равенством в гильбертовом пространстве и конечным числом функциональных ограничений-неравенств. Целевой функционал задачи не является, вообще говоря, сильно выпуклым, а на множество ее допустимых элементов, которое также принадлежит гильбертову пространству, не накладывается условие ограниченности. Получение регуляризованного ПЛ основано на методе двойственной регуляризации и предполагает использование двух параметров регуляризации и двух соответствующих условий согласования одновременно. Один из регуляризирующих параметров «отвечает» за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем добавке к целевому функционалу исходной задачи. Основное предназначение регуляризованного ПЛ — устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей, аппроксимирующих точное решение задачи по функции и по ограничениям, для целей ее непосредственного практического устойчивого решения.

Пусть $U$ — множество допустимых управлений, $T>0$ и задана шкала банаховых пространств $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T]$, такая, что множество сужений функций из $W=W[0;T]$ на $[0;\tau]$ совпадает с $W[0;\tau]$; $F[.;u]\colon W\to W$ — управляемый вольтерров оператор, $u\in U$. Ранее для операторного уравнения $x=F[x;u]$, $x\in W$, автором была введена система сравнения в форме функционально-интегрального уравнения в пространстве $\mathbf{C}[0;T]$. Было установлено, что для сохранения (относительно малых вариаций правой части) глобальной разрешимости операторного уравнения достаточно сохранения глобальной разрешимости указанной системы сравнения, а также установлены соответствующие достаточные условия. В данной статье рассматриваются дальнейшие примеры приложения этой теории: нелинейное волновое уравнение, сильно нелинейное волновое уравнение, нелинейное уравнение теплопроводности, сильно нелинейное параболическое уравнение.