Все выпуски

Рассмотрено применение барицентрического метода для численного решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в ограниченной односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. Основное допущение в решении заключается в задании границы $\Omega$ в кусочно-линейном представлении. Отличительная особенность барицентрического метода состоит в порядке формирования глобальной системы векторных базисных функций для $\Omega$ через барицентрические координаты. Установлены существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца барицентрическим методом и определена оценка скорости сходимости. Уточнены особенности алгоритмической реализации метода.

The application of the barycentric method for the numerical solution of Dirichlet and Neumann problems for the Helmholtz equation in the bounded simply connected domain $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ is considered. The main assumption in the solution is to set the $\Omega$ boundary in a piecewise linear representation. A distinctive feature of the barycentric method is the order of formation of a global system of vector basis functions for $\Omega$ via barycentric coordinates. The existence and uniqueness of the solution of Dirichlet and Neumann problems for the Helmholtz equation by the barycentric method are established and the convergence rate estimate is determined. The features of the algorithmic implementation of the method are clarified.

Статья посвящена развитию методов Ляпунова для анализа неустойчивости положения равновесия динамической системы в пространстве вероятностных мер, задаваемой нелокальным уравнением неразрывности. Рассматривается случай лишь барицентрически субдифференцируемой функции Ляпунова. Получены достаточные условия неустойчивости, которые являются аналогом теоремы Четаева и опираются на анализ поведения негладкой функции Ляпунова в окрестности положения равновесия. Приведен пример динамической системы, неустойчивость положения равновесия которой доказывается с использованием полученной теоремы.

The article is devoted to the development of Lyapunov methods for analyzing the instability of the equilibrium of a dynamical system in the space of probability measures, given by the nonlocal continuity equation. We consider the case of non-smooth Lyapunov function, but barycentrically subdifferentiable only. Sufficient instability conditions are obtained, which are an analogue of the Chetaev theorem and are based on an analysis of the behavior of the non-smooth Lyapunov function in the neighbourhood of the equilibrium. Also we give an example of a dynamical system, the instability of whose equilibrium position is proved using the obtained theorem.