Все выпуски

Рассмотрена математическая модель конкуренции в условиях биологической инвазии, записываемая в виде системы нелинейных уравнений параболического типа. Изучается конкуренция двух близкородственных видов — резидента и инвайдера. Динамика популяций на неоднородном ареале определяется локальным взаимодействием и диффузионным распространением. Для популяции инвайдера учитывается межвидовой таксис и направленная миграция, вызванная неоднородностью жизненных условий. В вычислительных экспериментах определены наборы миграционных параметров, отвечающих различным инвазивным сценариям. Дан анализ влияния начальных распределений на конкурентное исключение и сосуществование видов.

A mathematical model of competition under conditions of biological invasion, written in the form of a system of nonlinear parabolic equations, is considered. The competition of two closely related species — resident and invader — is studied. The dynamics of populations in a heterogeneous area is determined by local interaction and diffusion. For the invader population, interspecific taxis and directed migration caused by heterogeneity of living conditions are taken into account. In computational experiments, sets of migration parameters corresponding to various invasion scenarios are determined. An analysis of the influence of initial distributions on competitive exclusion and coexistence of species is given.

В конечномерном нормированном пространстве рассматривается дискретная игровая задача фиксированной продолжительности. Терминальное множество определяется условием принадлежности нормы фазового вектора отрезку с положительными концами. Множество, определяемое данным условием, названо в работе кольцом. Цель первого игрока заключается в том, чтобы в заданный момент времени привести фазовый вектор на терминальное множество. Цель второго игрока противоположна. В данной работе построены оптимальные управления игроков. Проведено компьютерное моделирование игрового процесса. Рассмотрена модификация исходной задачи, в которой у первого игрока в неизвестный момент времени происходит изменение в динамике.

In a normed space of finite dimension a discrete game problem with fixed duration is considered. The terminal set is determined by the condition that the norm of the phase vector belongs to a segment with positive ends. In this paper, a set defined by this condition is called a ring. The aim of the first player is to lead a phase vector to the terminal set at fixed time. The aim of the second player is the opposite. In this paper, optimal controls of the players are constructed. Computer simulation of the game process is performed. A modification of the original problem, in which at an unknown time there is a change in the dynamics of the first player, is considered.

Работа посвящена дифференциальным включениям (д.в.) на конечном промежутке времени. Обсуждаются вопросы, касающиеся вычисления множеств достижимости д.в. Как правило, множества достижимости не поддаются эффективному аналитическому описанию. В то же время часто возникает потребность в их вычислении. Довольно часто она появляется, например, в теории управления, стимулируя развитие методов и алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости.

The paper is devoted to differential inclusions (DI) on finite time intervals. We consider some questions of computation of attainable sets for DI. The above sets are rarely describable analytically in an effective way though, often, there is a necessity for their computation, for example, in control theory, in which the above computation is a stimulus to develop methods and algorithms used to approximately compute attainable sets.

Изучаются свойства дискретной вариационной задачи динамической аппроксимации в комплексном евклидовом (L + 1)-мерном пространстве E. Она обобщает известные задачи среднеквадратической полиномиальной аппроксимации функций, заданных своими отсчетами в конечном интервале. В рассматриваемой задаче аппроксимация последовательности y = {y_i}_L⁰ отсчетов функции y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh на сетке I_h осуществляется решениями однородных линейных дифференциальных или разностных уравнений заданного порядка n с постоянными, но, возможно, неизвестными коэффициентами. Тем самым показано, что в последнем случае задача аппроксимации включает в себя и задачу идентификации. Анализ ее особенностей - основная тема статьи. Ставится задача нахождения вектора коэффициентов  разностного уравнения Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, где k = 0,L − n. Оптимизируются коэффициенты  и начальные условия переходного процесса y этого уравнения. Цель оптимизации - наилучшая аппроксимация исследуемого динамического процесса y ∈ E. Критерий аппроксимации  минимум величины ||y − ŷ||²_E. Показано, что изучаемая вариационная задача сводится к задачам проектирования в E вектора y на ядра разностных операторов с неизвестными коэффициентами α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹. Здесь α - направление, S - сфера или гиперплоскость. Показана связь изучаемой задачи с задачами дискретизации и идентифицируемости. Тогда координаты вектора y ∈ E есть точное решение дифференциального уравнения на сетке I_h и y = ŷ. Дано сравнение изучаемой задачи вариационной идентификации с алгебраическими методами идентификации. Показано, что ортогональные дополнения к ядрам разностных операторов всегда имеют теплицев базис. Это приводит к быстрым проекционным алгоритмам вычислений. Показано, что задача нахождения оптимального вектора α сводится к задаче безусловной минимизации функционала идентификации, зависящего от направления  в Eⁿ⁺¹. Предложена итерационная процедура его минимизации на сфере с широкой областью и высокой скоростью сходимости. Изучаемую вариационную задачу можно применять при математическом моделировании в управлении и научных исследованиях. При этом на конечных интервалах может использоваться, в частности, возможность кусочно-линейной динамической аппроксимации сложных динамических процессов разностными и дифференциальными уравнениями указанного типа.

Some properties of the discrete variational problem of the dynamic approximation in the complex Euclidean (L + 1)-dimensional space are studied here. It generalizes familiar problems of the mean square polynomial approximation of the functions given on the finite interval in accordance with their references. In the problem under consideration sequence approximation y = {y_i}_L⁰ of the references of the function y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh on the lattice I_h is achieved by solving homogeneous linear differential equations or difference equations of the given order n with constant but possibly unknown coefficients. Thus, it is shown that in the latter case the approximation problem also includes the identification problem. The analysis of its properties is the main subject of the article. The problem is set to find vector of coefficients  of difference equation Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, where k = 0,L − n. Coefficients  and initial conditions of the transient process by of this equation are optimized. The optimization purpose is to achieve the best approximation of the dynamic process y ∈ E being considered here. The approximation criterion is a minimum of the quantity ||y − ŷ||²_E. The variational problem under study is shown to be reduced to the problem of projecting vector y in E on the kernels of the difference operators with unknown coefficients  α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹, where  is a direction, S is a sphere or a hyperplane. The problem under study is shown to be related to the problems of the discretization and identifiability. In this case vector coordinates y ∈ E is an exact solution of differential equation on the lattice I_h and y = ŷ. The problem of the variational identification is compared with algebraic methods of identification. The orthogonal complement to the kernels of the difference operators are shown to always have Toeplitz basis. This results in fast projecting algorithms of computation. The problem of finding optimal vector α is shown to be reduced to the problem of the absolute minimization of the identification functional depending on the direction  in Eⁿ⁺¹. The iterative procedure of its minimization on a sphere with wide domain and high speed of convergence is presented here. The variational problem considered here can be applied in mathematical modeling for control problem and research purposes. On the finite intervals, for example, it is possible to use piecewise-linear dynamic approximations of the complex dynamic processes with difference and differential equations of the specified type.

Определена конформная связность со скалярной кривизной как обобщение псевдориманова пространства постоянной кривизны. Вычислена матрица кривизны такой связности. Доказано, что на многообразии конформной связности со скалярной кривизной имеется конформная связность с нулевой матрицей кривизны. Дано определение перенормируемого скаляра и доказано существование перенормируемых скаляров на любом многообразии конформной связности, где существует разбиение единицы. Доказано: 1) существование на многообразии конформной связности с нулевой матрицей кривизны конформной связности с положительной, отрицательной и знакопеременной скалярной кривизной; 2) существование на многообразии конформной связности глобальной калибровочно-инвариантной метрики; 3) на гиперповерхности конформного пространства индуцированная конформная связность не может быть с ненулевой скалярной кривизной.

A conformal connection with scalar curvature is defined as a generalization of a pseudo-Riemannian space of constant curvature. The curvature matrix of such connection is computed. It is proved that on a conformally connected manifold with scalar curvature there is a conformal connection with zero curvature matrix. We give a definition of a rescalable scalar and prove the existence of rescalable scalars on any manifold with conformal connection where a partition of unity exists. It is proved: 1) on any manifold with conformal connection and zero curvature matrix there exists a conformal connection with positive, negative and alternating scalar curvature; 2) on any conformally connected manifold there exists a global gauge-invariant metric; 3) on a hypersurface of a conformal space the induced conformal connection can not be of nonzero scalar curvature.

Рассматривается задача построения вершинного описания выпуклого полиэдра, заданного как множество решений некоторой системы линейных неравенств, коэффициенты которой являются алгебраическими числами. Обратная задача эквивалентна (двойственна) исходной. Предлагаются программные реализации нескольких модификаций хорошо известного метода двойного описания (метода Моцкина-Бургера), решающего поставленную задачу. Рассматривается два случая: 1) элементы системы неравенств - произвольные алгебраические числа, при этом каждое такое число задается минимальным многочленом и локализующим интервалом; 2) элементы системы неравенств принадлежат заданному конечному расширению ${\mathbb Q} (\alpha)$ поля ${\mathbb Q}$, при этом для $\alpha$ задаются минимальный многочлен и локализующий интервал, а все элементы исходной системы, конечные и промежуточные результаты представлены как многочлены от $\alpha$. Как и ожидалось, программная реализация для второго варианта значительно превосходит реализацию для первого варианта по производительности. Для большего ускорения во втором случае предлагается использовать булевы матрицы вместо матриц невязок. Результаты вычислительного эксперимента показывают, что программные реализации вполне пригодны для решения задач умеренных размеров.

We consider the problem of constructing the dual representation of a convex polyhedron defined as a set of solutions to a system of linear inequalities with coefficients which are algebraic numbers. The inverse problem is equivalent (dual) to the initial problem. We propose program implementations of several variations of the well-known double description method (Motzkin-Burger method) solving this problem. The following two cases are considered: 1) the elements of the system of inequalities are arbitrary algebraic numbers, and each such number is represented by its minimal polynomial and a localizing interval; 2) the elements of the system belong to a given extension ${\mathbb Q} (\alpha)$ of ${\mathbb Q}$, and the minimal polynomial and the localizing interval are given only for $\alpha$, all elements of the system, intermediate and final results are represented as polynomials of $\alpha$. As expected, the program implementation for the second case significantly outperforms the implementation for the first one in terms of speed. In the second case, for greater acceleration, we suggest using a Boolean matrix instead of the discrepancy matrix. The results of a computational experiment show that the program is quite suitable for solving medium-scale problems.

Изучается задача о воздействии двухчастотных квазипериодических возмущений на системы, близкие к произвольным нелинейным двумерным гамильтоновым в случае, когда соответствующие возмущенные автономные системы имеют двойной предельный цикл. Ее решение имеет важное значение как для теории синхронизации колебаний, так и для теории бифуркаций динамических систем. В случае соизмеримости собственной частоты невозмущенной системы с частотами квазипериодического возмущения имеет место резонанс. Выводятся усредненные системы, позволяющие установить структуру резонансной зоны, то есть описать поведение решений в окрестностях индивидуальных резонансных уровней. Исследование этих систем позволяет установить возможные бифуркации, возникающие при отклонении резонансного уровня от уровня невозмущенной системы, порождающего двойной предельный цикл в возмущенной автономной системе. Полученные теоретические результаты применяются при исследовании двухчастотного квазипериодически возмущенного уравнения маятникового типа и иллюстрируются при помощи численных вычислений.

The problem of the effect of two-frequency quasi-periodic perturbations on systems close to arbitrary nonlinear two-dimensional Hamiltonian ones is studied in the case when the corresponding perturbed autonomous systems have a double limit cycle. Its solution is important both for the theory of synchronization of nonlinear oscillations and for the theory of bifurcations of dynamical systems. In the case of commensurability of the natural frequency of the unperturbed system with frequencies of quasi-periodic perturbation, resonance occurs. Averaged systems are derived that make it possible to ascertain the structure of the resonance zone, that is, to describe the behavior of solutions in the neighborhood of individual resonance levels. The study of these systems allows determining possible bifurcations arising when the resonance level deviates from the level of the unperturbed system, which generates a double limit cycle in a perturbed autonomous system. The theoretical results obtained are applied in the study of a two-frequency quasi-periodic perturbed pendulum-type equation and are illustrated by numerical computations.

В статье рассматривается экстремальная задача маршрутизации с ограничениями. В общей формулировке предполагается, что объектами посещения являются любые непустые конечные множества — мегаполисы. Основной прикладной задачей, рассматриваемой в данном исследовании, является задача оптимизации траектории движения инструмента для станков листовой резки с ЧПУ, известная как проблема пути резания. Эта проблема возникает на этапе разработки управляющих программ для станков с ЧПУ. Возможны и другие приложения. В частности, результаты исследования могут быть использованы в задаче минимизация дозы облучения при демонтаже системы радиационно-опасных элементов после аварий на АЭС и в транспортных проблемах. В качестве ограничений исследуются ограничения предшествования. Они могут быть использованы для уменьшения вычислительной сложности. В качестве основного метода исследования использовалось широко понимаемое динамическое программирование. Предлагаемая реализация метода учитывает ограничения предшествования и зависимость целевых функций от списка задач. Последняя относится к классу очень сложных состояний, которые определяют допустимость маршрута на каждом шаге маршрутизации, в зависимости от уже выполненных или, наоборот, еще не завершенных задач. Применительно к задаче резки зависимость целевой функции от списка задач позволяет уменьшать термические деформации материала при резке. В работе математическая формализация экстремальной задачи маршрутизации с дополнительными ограничениями, описание метода и полученный с его помощью точный алгоритм. Оптимизации подлежат порядок выполнения задач, конкретная траектория процесса, и его начальная точка.

The paper deals with an extremal routing problem with constraints. In the general formulation, it is assumed that the objects of visiting are any non-empty finite sets — megalopolises. The main applied problem considered in this study is the tool path optimization problem for CNC sheet-cutting machines, known as the Cutting Path Problem. This problem arises at the stage of developing control programs for CNC machines. Other applications are also possible. In particular, the results obtained in the chapter can be used in the problem of minimizing the radiation dose when dismantling a system of radiation-hazardous elements after accidents at nuclear power plants and in transport problems. Among tasks constraints, the precedence constraints are investigated. These constraints can be used to reduce computational complexity. As the main method, the study used broadly understood dynamic programming. The offered realization of the method takes into account the precedence constraints and the dependence of the objective functions on the task list. This dependence belongs to the class of very complex conditions that determine the route admissibility at each routing step, depending on the tasks already completed or, on the contrary, not yet completed. As applied to the Cutting Path Problem, the dependence of the objective function on the task list makes it possible to reduce thermal deformations of the material during cutting. The chapter provides a mathematical formalization of an extremal routing problem with additional constraints, a description of the method, and the exact algorithm obtained with its help. The order of task execution, the specific trajectory of the process, and the starting point are optimized.

После статьи Молодцова [Molodtsov D. Soft set theory — First results // Computers and Mathematics with Applications. 1999. Vol. 37. No. 4-5. P. 19-31.] теория мягких множеств начала стремительно развиваться. Несколько авторов ввели различные операции, отношения, результаты и т.д., а также другие аспекты в теории мягких множеств и гибридных структур некорректно, несмотря на их широкое применение в математике и смежных областях. В своей работе [Molodtsov D.A. Equivalence and correct operations for soft sets // International Robotics and Automation Journal. 2018. Vol. 4. No. 1. P. 18-21.], Молодцов, отец теории мягких множеств, указал на несколько неверных результатов и понятий. Молодцов [Молодцов Д.А. Структура мягких множеств // Нечеткие системы и мягкие вычисления. 2017. Т. 12. Вып. 1. С. 5-18.] также заявил, что понятие мягкого множества не везде было полностью понято и использовано. В связи с этим важно пересмотреть причуды этих представлений и дать формальное изложение понятия эквивалентности мягкого множества. Молодцов уже исследовал многие корректные операции над мягкими множествами. Мы используем некоторые понятия и результаты Молодцова [Молодцов Д.А. Структура мягких множеств // Нечеткие системы и мягкие вычисления. 2017. Т. 12. Вып. 1. С. 5-18.] для создания матричных представлений, а также связанных с ними операций над мягкими множествами, и для количественной оценки сходства между двумя мягкими множествами.

After the paper of Molodtsov [Molodtsov D. Soft set theory — First results, Computers and Mathematics with Applications, 1999, vol. 37, no. 4-5, pp. 19-31.] first appeared, soft set theory grew at a breakneck pace. Several authors have introduced various operations, relations, results, etc. as well as other aspects in soft set theory and hybrid structures incorrectly, despite their widespread use in mathematics and allied areas. In his paper [Molodtsov D.A. Equivalence and correct operations for soft sets, International Robotics and Automation Journal, 2018, vol. 4, no. 1, pp. 18-21.], Molodtsov, the father of soft set theory, pointed out several wrong results and notions. Molodtsov [Molodtsov D.A. Structure of soft sets, Nechetkie Sistemy i Myagkie Vychisleniya, 2017, vol. 12, no. 1, pp. 5-18.] also stated that the concept of soft set had not been fully understood and used everywhere. As a result, it is important to revisit the quirks of those conceptions and provide a formal account of the notion of soft set equivalency. Molodtsov already explored many correct operations on soft sets. We use some notions and results of Molodtsov [Molodtsov D.A. Structure of soft sets, Nechetkie Sistemy i Myagkie Vychisleniya, 2017, vol. 12, no. 1, pp. 5-18.] to create matrix representations as well as related operations of soft sets, and to quantify the similarity between two soft sets.

На основе известных свойств функции вероятности протекания простой кубической решётки размера L=2 в приближении линейной связи порога протекания бесконечной решётки x_c и среднего значения x_cL конечной решётки введена нескейлинговая функция вероятности протекания для решётки размера L>2. Показано, что на пороге протекания нескейлинговые вероятности для всех ПК решёток одинаковы.
Компьютерные эксперименты на основе метода Монте-Карло согласуются с предлагаемой в работе теорией.

Using known properties of the probability function for passing in a simple cubic lattice with L=2 in approximation of a linear relation between a passing threshold of an infinite lattice x_c and average value x_cL of a finite lattice, we introduce a nonscaling probability function of passing of a lattice with L>2. We show that on the passing threshold nonscaling probabilities for all simple cubic lattices are the same.
Computer experiments based on the Monte-Carlo method are in agreement with the theory proposed.