Все выпуски

Любое бинарное отношение σ⊆X (где X - произвольное множество) порождает на множестве X² характеристическую функцию: если (x,y)∈σ, то σ(x,y)=1, а иначе σ(x,y)=0. В терминах характеристических функций на множестве всех бинарных отношений множества X вводится понятие бинарного рефлексивного отношения смежности и определяется алгебраическая система, состоящая из всех бинарных отношений множества и из всех неупорядоченных пар различных смежных бинарных отношений. Если X - конечное множество, то эта алгебраическая система - граф («граф графов»).

Показано, что если σ и τ - смежные отношения, то σ является частичным порядком тогда и только тогда, когда τ является частичным порядком. Исследованы некоторые особенности строения графа G(X) частичных порядков. В частности, если X состоит из n элементов, а T₀(n) - это число помеченных T₀-топологий, определенных на множестве X, то количество вершин в графе G(X) равно T₀(n), а количество компонент связности равно T₀(n-1).

Для всякого отношения частичного порядка σ определяется понятие его опорного множества S(σ), являющегося некоторым подмножеством множества X. Если X - конечное множество, а частичные порядки σ и τ принадлежат одной и той же компоненте связности графа G(X), то равенство S(σ)=S(τ) имеет место тогда и только тогда, когда σ=τ. Показано, что в каждой компоненте связности графа G(X) совокупность опорных множеств ее элементов является специфическим частично упорядоченным множеством относительно естественного отношения включения множеств.

Any binary relation σ⊆X (where X is an arbitrary set) generates a characteristic function on the set X²: if (x,y)∈σ, then σ(x,y)=1, otherwise σ(x,y)=0. In terms of characteristic functions on the set of all binary relations of the set X we introduced the concept of a binary reflexive relation of adjacency and determined the algebraic system consisting of all binary relations of a set and of all unordered pairs of various adjacent binary relations. If X is finite set then this algebraic system is a graph (“a graph of graphs”).

It is shown that if σ and τ are adjacent relations then σ is a partial order if and only if τ is a partial order. We investigated some features of the structure of the graph G(X) of partial orders. In particular, if X consists of n elements, and T₀(n) is the number of labeled T₀-topologies defined on the set X, then the number of vertices in a graph G(X) is T₀(n), and the number of connected components is T₀(n-1).

For any partial order σ there is defined the notion of its support set S(σ), which is some subset of X. If X is finite set, and partial orders σ and τ belong to the same connected component of the graph G(X), then the equality S(σ)=S(τ) holds if and only if σ=τ. It is shown that in each connected component of the graph G(X) the union of support sets of its elements is a specific partially ordered set with respect to natural inclusion relation of sets.

В статье рассматриваются приближенные решения неантагонистических дифференциальных игр. Приближенное равновесие по Нэшу может быть построено по заданному решению вспомогательной стохастической игры с непрерывным временем. Мы рассматриваем случай, когда динамика вспомогательной игры задается марковской цепью с непрерывным временем. Для этой игры функция цены определяется решением системы обыкновенных дифференциальных включений. Таким образом, мы получаем конструкцию приближенного равновесия по Нэшу с выигрышами игроков, близкими к решениям системы обыкновенных дифференциальных включений. Также предложен способ построения марковской игры с непрерывным временем, аппроксимирующей исходную игру.

The paper is concerned with approximate solutions of nonzero-sum differential games. An approximate Nash equilibrium can be designed by a given solution of an auxiliary continuous-time dynamic game. We consider the case when dynamics is determined by a Markov chain. For this game the value function is determined by an ordinary differential inclusion. Thus, we obtain a construction of approximate equilibria with the players' outcome close to the solution of the differential inclusion. Additionally, we propose a way of designing a continuous-time Markov game approximating the original dynamics.

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

We consider a non-local boundary value problem for a feedback control system described by a semilinear functional-differential inclusion of fractional order with infinite delay in a separable Banach space. The general principle of existence of solutions to the problem in terms of the difference from zero of the topological degree of the corresponding vector field is given. We prove a concrete example (Theorem 6) of the implementation of this general principle. The existence of an optimal solution to the posed problem is proved, which minimizes the given lower semicontinuous quality functional.

Дифференциальные включения типа среднего поля возникают в рамках теории управления средним полем при овыпуклении правой части. Мы исследуем случай, когда правая часть дифференциального включения зависит от положения агента и от распределения всех агентов полунепрерывно. Основной результат статьи состоит в доказательстве существования и стабильности решений дифференциальных включений типа среднего поля. Также мы показываем полунепрерывную снизу зависимость функции цены задачи оптимального управления средним полем от начального состояния и параметра.

Mean field type differential inclusions appear within the theory of mean field type control through the convexification of a right-hand side. We study the case when the right-hand side of a differential inclusion depends on the state of an agent and the distribution of agents in an upper semicontinuous way. The main result of the paper is the existence and the stability of the solution of a mean field type differential inclusion. Furthermore, we show that the value function of the mean field type optimal control problem depends on an initial state and a parameter semicontinuously.

В работе предложено обобщение теоремы Надлера о неподвижных точках для многозначных отображений действующих в метрических пространствах. Полученный результат позволяет изучать существование неподвижных точек у многозначных отображений, которые не обязательно являются сжимающими, и даже непрерывными, относительно метрики Хаусдорфа, и образами которых могут быть произвольные множества соответствующего метрического пространства. Упомянутый результат можно использовать для исследования дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений с разрывами, а также включений, правые части которых порождены многозначными отображениями с произвольными образами. Во второй части работы, в качестве приложения, получены условия существования и продолжаемости решений задачи Коши для дифференциального включения с некомпактной правой частью в пространстве Rⁿ.

A generalization of the Nadler fixed point theorem for multi-valued maps acting in metric spaces is proposed. The obtained result allows to study the existence of fixed points for multi-valued maps that have as images any arbitrary sets of the corresponding metric space and are not necessarily contracting, or even continuous, with respect to the Hausdorff metric. The mentioned result can be used for investigating differential and functional-differential equations with discontinuities and inclusions generated by multi-valued maps with arbitrary images. In the second part of the paper, as an application, conditions of existence and continuation of solutions to the Cauchy problem for a differential inclusion with noncompact in Rⁿ right-hand side are derived.

Исследуются задачи о равновесии трансверсально-изотропной пластины с жесткими включениями. Предполагается, что пластина деформируется в рамках гипотез классической теории упругости. Задачи формулируются в виде минимизации функционала энергии пластины на выпуклом и замкнутом подмножестве пространства Соболева. Установлено, что предельный переход по геометрическому параметру в задачах о равновесии пластины с объемным включением приводит к задаче о пластине с тонким жестким включением. Исследован также случай отслоения тонкого жесткого включения - когда трещина в пластине расположена вдоль одного из берегов включения. В задаче о пластине с отслоившимся тонким включением на трещине задается нелинейное условие непроникания. Это условие имеет вид неравенства (типа Синьорини) и описывает взаимное непроникание противоположных берегов трещины. Для задачи с отслоившимся включением, при достаточной гладкости решения, установлена эквивалентность вариационной и дифференциальной формулировок. Также получены соотношения, описывающие контакт противоположных берегов трещины. Относительно каждой из рассмотренных вариационных задач установлена однозначная разрешимость.

We study the equilibrium problem of a transversely isotropic plate with rigid inclusions. It is assumed that the plate deforms under hypotheses of classical elasticity. The problems are formulated as the minimization of the plate energy functional on the convex and closed subset of the Sobolev space. It is established that, as the geometric parameter (the size) of the volume inclusion tends to zero, the solutions converge to the solution of an equilibrium problem of a plate with a thin rigid inclusion. Also the case of the delamination of an inclusion is investigated when a crack in the plate is located along one of the inclusion edges. In the problem of a plate with a delaminated inclusion the nonlinear condition of nonpenetration is given. This condition takes the form of a Signorini-type inequality and describes the mutual nonpenetration of the crack edges. For the problem with a delaminated inclusion, the equivalence of variational and differential statements is proved provided a sufficiently smooth solution. For each considered variation problem, unique solvability is established.

В данной статье изучена задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в полубесконечном параллелепипеде. На основании свойства полноты систем собственных функций двух одномерных спектральных задач доказана теорема единственности. Для доказательства существования решения задачи использован спектральный метод Фурье, основанный на разделении переменных. Решение поставленной задачи построено в виде суммы двойного ряда Фурье-Бесселя. При обосновании равномерной сходимости построенного ряда использованы асимптотические оценки функций Бесселя действительного и мнимого аргумента. На их основе получены оценки для каждого члена ряда, позволившие доказать сходимость ряда и его производных до второго порядка включительно, а также теорему существования в классе регулярных решений.

This article studies the Keldysh problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients in a semi-infinite parallelepiped. Based on the completeness property of eigenfunction systems of two one-dimensional spectral problems, the uniqueness theorem is proved. To prove the existence of a solution to the problem, the Fourier spectral method based on the separation of variables is used. The solution to this problem is constructed in the form of a sum of a double Fourier-Bessel series. In substantiating the uniform convergence of the constructed series, we used asymptotic estimates of the Bessel functions of the real and imaginary argument. Based on them, estimates were obtained for each member of the series, which made it possible to prove the convergence of the series and its derivatives to the second order inclusive, as well as the existence theorem in the class of regular solutions

Рассматриваются две задачи нелинейного гарантированного оценивания фазовых состояний динамических систем. Предполагается, что неизвестные измеримые по $t$ возмущения линейно входят в уравнение движения и аддитивно — в уравнения измерения. Эти возмущения стеснены нелинейными интегральными функционалами, один из которых является аналогом функционала обобщенной работы. Исследуемая задача состоит в построении информационных множеств по данным измерения, содержащих истинное положение траектории. Используется подход динамического программирования. Если для первого функционала требуется решить нелинейное уравнение в частных производных первого порядка, что не всегда возможно, то для функционала обобщенной работы достаточно найти решение линейного уравнения Ляпунова первого порядка, что существенно упрощает задачу. Тем не менее, даже в этом случае приходится налагать дополнительные условия на параметры системы для того, чтобы траектория системы, соответствующая наблюдаемому сигналу, существовала. Если уравнение движения линейно по фазовой переменной, то многие предположения выполняются автоматически. Для этого случая обсуждается вопрос о взаимной оценке сверху и снизу информационных множеств по включению для разных функционалов. В заключение рассмотрен наиболее прозрачный линейно-квадратичный случай. Изложение иллюстрируется примерами.

Two problems of nonlinear guaranteed estimation for states of dynamical systems are considered. It is supposed that unknown measurable in $t$ disturbances are linearly included in the equation of motion and are additive in the measurement equations. These disturbances are constrained by nonlinear integral functionals, one of which is analog of functional of the generalized work. The studied problem consists in creation of the information sets according to measurement data containing the true position of the trajectory. The dynamic programming approach is used. If the first functional requires solving a nonlinear equation in partial derivatives of the first order which is not always possible, then for functional of the generalized work it is enough to find a solution of the linear Lyapunov equation of the first order that significantly simplifies the problem. Nevertheless, even in this case it is necessary to impose additional conditions on the system parameters in order for the system trajectory of the observed signal to exist. If the motion equation is linear in state variable, then many assumptions are carried out automatically. For this case the issue of mutual approximation of information sets via inclusion for different functionals is discussed. In conclusion, the most transparent linear quadratic case is considered. The statement is illustrated by examples.

Теория мягких множеств — это новая область математики, которая имеет дело с неопределенностями. Приложения теории мягких множеств широко распространены в различных областях науки и социальных наук, таких как принятие решений, информатика, распознавание образов, искусственный интеллект и т.д. Важность мягких теоретико-множественных версий математического анализа ощущается в нескольких областях информатики. В этой статье предлагаются некоторые концепции мягкого градиента функции и мягкого интеграла, аналога криволинейного интеграла в классическом анализе. Установлены основные свойства мягких градиентов. Найдено необходимое и достаточное условие, при котором множество может быть подмножеством мягкого градиента некоторой функции. Доказано включение мягкого градиента в мягкий интеграл. Установлены полуаддитивность и положительная однородность мягкого интеграла. Получены оценки мягкого интеграла и размера его отрезка. Полуаддитивность относительно верхнего предела интегрирования доказана. Кроме того, эта статья расширяет теоретические развитие мягкого рационального криволинейного интеграла и связанных областей для повышения функциональности с точки зрения вычислительных систем.

Soft set theory is a new area of mathematics that deals with uncertainties. Applications of soft set theory are widely spread in various areas of science and social science viz. decision making, computer science, pattern recognition, artificial intelligence, etc. The importance of soft set-theoretical versions of mathematical analysis has been felt in several areas of computer science. This paper suggests some concepts of a soft gradient of a function and a soft integral, an analogue of a line integral in classical analysis. The fundamental properties of soft gradients are established. A necessary and sufficient condition is found so that a set can be a subset of the soft gradient of some function. The inclusion of a soft gradient in a soft integral is proved. Semi-additivity and positive uniformity of a soft integral are established. Estimates are obtained for a soft integral and the size of its segment. Semi-additivity with respect to the upper limit of integration is proved. Moreover, this paper enriches the theoretical development of a soft rational line integral and associated areas for better functionality in terms of computing systems.

В работе исследуется задача управляемости для систем функциональных включений с каузальными операторами и импульсными характеристиками в банаховых пространствах. Основным результатом работы является глобальная теорема существования траекторий для систем, описываемых функциональными включениями с импульсными характеристиками. Доказательство основано на теории топологической степени для уплотняющих многозначных отображений. В качестве приложений основного результата получены обобщенные теоремы существования для систем двух важных классов: полулинейных дифференциальных включений первого порядка и полулинейных дифференциальных включений дробного порядка $0<q<1$.

This paper studies the controllability problem for systems of functional inclusions with causal operators and impulse characteristics in Banach spaces. The main result of the paper is a global existence theorem for trajectories for systems described by functional inclusions with impulse characteristics. The proof is based on topological degree theory for condensing multivalued mappings. As applications of the main result, generalized existence theorems are obtained for systems of two important classes: first-order semilinear differential inclusions of fractional order $0<q<1$.