Все выпуски

Данная работа находится в русле наших последних исследований колец, обладающих свойствами (сильной, слабой) нуль-чистоты. Мы углубленно изучаем как структурные, так и характеристические свойства таких колец, для которых элементы, не являющиеся необратимыми, являются слабо нуль-чистыми. Также рассматриваются и описываются групповые кольца такого рода. Это в некоторой степени дополняет наши недавние результаты в этом направлении, опубликованные в Punjab University Journal of Mathematics (2024), когда обратимые элементы являются слабо нуль-чистыми.

In regard to our recent studies of rings with (strongly, weakly) nil-clean-like properties, we explore in-depth both the structural and characterization properties of those rings whose elements that are not units are weakly nil-clean. Group rings of this sort are considered and described as well. This somewhat supplies our recent results of this branch when the units are weakly nil-clean published in Punjab University Journal of Mathematics (2024).

Мы вводим и исследуем новый класс ассоциативных колец, называемых $n$-$\nabla U$ кольцами, характеризующихся условием, что для каждого обратимого элемента $u$ в кольце элемент $u^n - 1$ принадлежит выделенному подмножеству $\nabla(R)$ $\nabla$-нильпотентных элементов. Это подмножество состоит из элементов $x \in R$ таких, что $1 - ux$ обратим для всех обратимых элементов $u$, коммутирующих с $x$. Мы исследуем структурные свойства $n$-$\nabla U$ и $\pi$-$\nabla U$ колец, приводим иллюстративные примеры и изучаем их поведение относительно различных теоретико-кольцевых конструкций, включая прямые произведения, факторкольца и тривиальные расширения. Наши результаты устанавливают связи между условием $n$-$\nabla U$ и классическими понятиями такими, как регулярность, чистота и конечность по Дедекинду, предлагая новые идеи о взаимодействии между степенями обратимых элементов и нильпотентностью в теории колец.

We introduce and investigate a new class of associative rings, called $n$-$\nabla U$ rings, characterized by the condition that for every unit $u$ in the ring, the element $u^n - 1$ belongs to a distinguished subset $\nabla (R)$ of $\nabla$-nilpotent elements. This subset consists of elements $x \in R$ such that $1 - ux$ is invertible for all units~$u$ commuting with $x$. We explore the structural properties of $n$-$\nabla U$ and $\pi$-$\nabla U$ rings, provide illustrative examples, and examine their behavior under various ring-theoretic constructions including direct products, quotient rings, and trivial extensions. Our results establish connections between the $n$-$\nabla U$ condition and classical notions such as regularity, cleanness, and Dedekind-finiteness, offering new insights into the interplay between unit powers and nilpotency in ring theory.