Все выпуски

В работе рассматривается следующая краевая задача для обобщенного уравнения Коши-Римана в единичном круге G={z∈C: |z|<1}: ∂_¯zw+b(z)¯w=0, ℜw=g на ∂G, ℑw=h в точке z₀=1. Коэффициент b(z) выбирается из некоторого множества S_P, построенного с помощью весов, причем S_P⊈L₂, S_P⊄L_q, q>2. В свою очередь, краевое условие g выбирается из пространства, порожденного модулем непрерывности μ, обладающим некоторыми специальными свойствами. Показывается, что задача имеет единственное решение w=w(z) в круге G, причем w∈C(¯G). Кроме того, вне точки z=0 поведение решения задачи определяется тем же самым модулем непрерывности μ, что означает, что для решения задачи отсутствует «логарифмический эффект».

The following boundary value problem for generalized Cauchy-Riemann equation in the unit disk G={z∈C: |z|<1} is considered in the paper: ∂_¯zw+b(z)¯w=0, ℜw=g on ∂G, ℑw=h at the point z₀=1. The coefficient b(z) is chosen from some set S_P, constructed by scales, with S_P⊈L₂,S_P⊄L_q, q>2. The boundary value g is chosen from the space, constructed by a modulus of continuity μ with some special properties. It is shown that the problem has unique solution w=w(z) in the unit disk G with w∈C(¯G). Moreover, outside the point z=0 the behaviour of the solution w(z) is defined by the same modulus of continuity μ; it means there is no ``logarithmic effect'' for the solution.