Все выпуски

Рассматриваются общие свойства ультрафильтров π-систем с нулем и единицей, используемые при построении расширений абстрактных задач о достижимости для получения оценок множеств притяжения в топологическом пространстве. Обсуждаются возможности использования упомянутых ультрафильтров в качестве обобщенных элементов. Среди последних выделяются допустимые по отношению к ограничениям асимптотического характера исходной задачи. Целевой оператор данной задачи при очень общих условиях продолжается до непрерывного отображения, сопоставляющего каждому ультрафильтру π-системы предел соответствующего образа. При этом основное множество притяжения (асимптотический аналог множества достижимости) оценивается снизу непрерывным образом аналогичного вспомогательного множества в пространстве ультрафильтров. В частном случае реализации пространства Стоуна (когда используемая π-система является алгеброй множеств) упомянутая оценка превращается в равенство, связывающее искомое и вспомогательное множества притяжения; для последнего указано достаточно простое представление. Обсуждается вариант применения (в оценочных целях) расширения Волмэна.

General properties of ultrafilters of π-systems with zero and unit used under extension constructing for abstract attainability problems with the aim of estimation for attraction sets in topological space are considered. Possibilities of employment of the above-mentioned ultrafilters as general elements are considered. Among them, elements admissible with respect to constraints of asymptotic character of the initial problem are selected. Under very general conditions, the goal operator of the given problem extends to the continuous mapping that takes each ultrafilter of π-system to the limit of corresponding image. The basic attraction set (an asymptotic analog of the attainability domain) is estimated from below by the continuous image of an analogous auxiliary set in the space of ultrafilters. In the particular case of realization of the Stone space (when the used π-system is an algebra of sets) the above-mentioned estimate is an equality connecting a desired attraction set and an auxiliary one; for the latter a sufficiently simple representation is given. The variant of application (in estimating goals) of the Wallman extension is discussed.