Все выпуски

Рассматривается дискретная линейная однородная система

$$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n, \qquad\qquad (1)$$

с вполне ограниченной матрицей $A(\cdot)$ и полным спектром показателей Ляпунова $\lambda_1(A)\leqslant\ldots\leqslant\lambda_n(A)$. Показатели Ляпунова системы (1) называются устойчивыми, если для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что для всякой вполне ограниченной на $\mathbb N$ $n\times n$-матрицы $R(\cdot)$, удовлетворяющей оценке $\sup_{m\in\mathbb N}\|R(m)-E\|<\delta$, для полного спектра показателей Ляпунова $\lambda_1(AR)\leqslant\ldots\leqslant\lambda_n(AR)$ возмущенной системы

$$z(m+1)=A(m)R(m)z(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n,$$

справедливо неравенство $\max_{j=1,\ldots,n}|\lambda_j(A)-\lambda_j(AR)|<\varepsilon$. В работе построен пример системы вида (1) с неустойчивыми показателями Ляпунова.

We consider a discrete time-varying linear system

$$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n,\qquad\qquad (1)$$

where $A(\cdot)$ is completely bounded on $\mathbb N$, i.e., $\sup_{m\in\mathbb N}\bigl(\|A(m)\|+\|A^{-1}(m)\|\bigr)<\infty$. Let $\lambda_1(A)\leqslant\ldots\leqslant\lambda_n(A)$ be the Lyapunov spectrum of the system (1). It is called stable if for any $\varepsilon>0$ there exists a $\delta>0$ such that for every completely bounded $n\times n$-matrix $R(\cdot)$, $\sup_{m\in\mathbb N}\|R(m)-E\|<\delta$, the inequality $$\max_{j=1,\ldots,n}|\lambda_j(A)-\lambda_j(AR)|<\varepsilon $$ holds. We construct an example of the system (1) with unstable Lyapunov spectrum.