Все выпуски

В статье разработаны методы, необходимые для решения задач конформного отображения многогранников в $\mathbb{R}^3$. Результаты получены с использованием алгебры кватернионов и геометрических представлений. Определены прямое и обратное конформные отображения: верхнего полупространства на единичный шар, шаровой луночки на двугранный угол, двугранного и многогранного углов на верхнее полупространство. При помощи полученных результатов найдены решения прямой и обратной задач конформного отображения многогранников на верхнее полупространство. Решение прямой задачи конформного отображения основано на результатах теоремы Кристоффеля-Шварца. Решение обратной задачи выполнено методом последовательных конформных отображений. В целом полученные взаимно однозначные отображения основаны на том, что по теореме Лиувилля все конформные диффеоморфизмы любой области в пространстве являются преобразованиями Мёбиуса.

Methods necessary to solve problems of conformal mapping of polyhedra in $\mathbb{R}^3$ are developed. The results are obtained with the use of quaternion algebra and geometric representations. The direct and inverse conformal mappings are defined: those of the upper half-space onto the unit ball, those of a ball crescent onto the dihedral angle and those of dihedral and polyhedral angles onto the upper half-space. Solutions to the direct and inverse problems of conformal mapping of the polyhedrons onto the upper half-space are found using the results obtained. The solution to the direct problem of conformal mapping is based on the results of the Christoffel-Schwarz theorem. The solution of the inverse problem is obtained by the method of successive conformal mappings. In general, the one-to-one mappings obtained are based on the fact that, by the Liouville theorem, all conformal diffeomorphisms of any area in the space are the Möbius transformations.