Все выпуски

Рассматривается банахова алгебра $\mathfrak{V}_{\mathbf{n}; p}$ операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа в $L_p$ пространстве на группе $\mathbb{R}^n$. Интерес к операторам из $\mathfrak{V}_{\mathbf{n}; p}$ продиктован их естественной связью с операторами меллиновской свертки, многомерной мультипликативной свертки на группе $\mathbb{R}^n$, а также применимостью при решении задач со сложными особенностями. Описана связь этой алгебры с алгеброй операторов многомерной свертки с компактными коэффициентами посредством изоморфизма подобия. Для операторов из $\mathfrak{V}_{\mathbf{n}; p}$ получен критерий применимости проекционного метода решения операторных уравнений в терминах обратимости некоторого семейства операторов в конусах. Критерий применимости доказывается путем редукции исходного уравнения к уравнению для операторов свертки с компактными коэффициентами. Обоснование применимости проекционного метода основано на существенном использовании новой операторной версии локального принципа А.В. Козака в теории проекционных методов, который в свою очередь является модификацией известного локального метода И.Б. Симоненко в теории фредгольмовости. В работе приводятся иллюстративные примеры уравнений для операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа, в которых для рассматриваемых операторов вычисляется символ, а к уравнениям применяется разработанный проекционный метод.

We consider the Banach algebra $\mathfrak{V}_{\mathbf{n}; p}$ of operators with anisotropically homogeneous kernels of compact type in $L_p$-space on the $\mathbb{R}^n$-group. Interest in the operators from $\mathfrak{V}_{\mathbf{n}; p}$ is motivated by their natural connection with the Mellin convolution operators and multidimensional multiplicative convolution operators on the $\mathbb{R}^n$-group, as well as by their applicability to the solution of problems with complex singularities. We describe the relationship of this algebra with the algebra of multidimensional convolution operators with compact coefficients using the similarity isomorphism. For the operators from the $\mathfrak{V}_{\mathbf{n}; p}$-algebra we obtain the criterion of applicability of the projection method for solving operator equations in terms of invertibility of some set of operators in cones. We prove the criterion of applicability using the reduction of the original equation to an equation for convolution operators with compact coefficients. The proof of the applicability of the projection method is sufficiently based on the new operator version of the local principle by A.V. Kozak in the theory of projection methods, which is a modification of the well-known local principle by I.B. Simonenko in the theory of the Fredholm property. In this paper, we give illustrative examples of the equations for operators with anisotropically homogeneous kernels of compact type, where we calculate the symbol and apply the developed projection method for these operators.