Все выпуски

Рассмотрено взаимное расположение вершин единичного многомерного куба, аффинного подпространства и его ортогональных проекций на координатные подпространства. Даны верхние и нижние ограничения размерности подпространства, при которых некоторая ортогональная проекция всегда сохраняет отношение инцидентности подпространства и вершин куба. Также рассмотрены некоторые косоугольные проекции. Кроме того, дан краткий обзор истории развития многомерной начертательной геометрии. Аналитические и синтетические методы в геометрии обособились с XVII века. Хотя анализ и синтез тесно переплетаются, с этого времени многие геометры и инженеры делают тонкое различие. Указания на идею о многомерном пространстве можно найти в работах XVIII века, но настоящее развитие началось с середины XIX века. Вскоре такие работы появились и на русском языке. Далее многие математики обобщали свои теории на многомерный случай. Наши новые результаты получены аналитическими и синтетическими методами. Они иллюстрируют сложность задач псевдобулева программирования, поскольку снижение размерности задачи методом ортогонального проектирования встречает препятствие в худшем случае.

В работе рассматривается модель химической кинетики, для которой вывод уравнений не опирается на закон действующих масс, а строится на основе таких принципов, как геометрическая вероятность, а также совместная вероятность для двух событий. Для этой модели строится обобщение на случай реакции-диффузии в гетерогенной среде, а также учитывается конвекционный и диффузионный перенос тепловой энергии. Построение данного обобщения проводится по альтернативной методике на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений и без перехода к частным производным. По своему описанию этот подход близок к методу конечных объемов, но в отличие от него для описания диффузии применяются статистические упрощения и принцип геометрической вероятности. Подобный альтернативный вариант позволяет значительно упростить численную реализацию итоговой модели, а также упростить ее качественный анализ методами теории динамических систем. Помимо этого, также значительно повышается эффективность параллельной реализации численного метода для итоговой модели. Дополнительно к этому мы также рассмотрим приложение модели для описания эталонного примера кинетики с квазипериодическим режимом, а также рассмотрим алгоритм перевода стандартных моделей с размерными кинетическими константами к ее формализму.

В рамках данной работы была построена базовая модель химической кинетики, которая использует только физически обоснованные уравнения и параметры. В частности, были преодолены три недостатка классических моделей: удалены все технические параметры, согласована размерность основных уравнений динамики и дано корректное описание термодинамики. При этом основной задачей итоговой модели была автоматизация анализа сложных реакций с разложением их на элементарные стадии. Для достижения этих целей были введены следующие упрощающие положения: постоянство объема реакционной среды, изолированность объема и преобладание жидкого агрегатного состояния.

В работе дан обзор проблем, приводящих к необходимости анализа моделей линейных и нелинейных динамических систем в форме стохастических дифференциальных уравнений со случайными запаздываниями различного типа, а также представлены некоторые известные методы решения этих задач. Далее в статье предлагаются новые подходы к приближенному анализу линейных и нелинейных стохастических динамических систем, изменения запаздываний которых описываются дискретной марковской цепью с непрерывным временем. Используемые подходы базируются на сочетании классического метода шагов, расширения пространства состояния стохастической системы и метода статистического моделирования (Монте-Карло). В рассматриваемом случае такой подход позволил упростить задачу и привести исходные уравнения к системам стохастических дифференциальных уравнений без запаздывания. Более того, для линейных систем получена замкнутая последовательность систем обыкновенных дифференциальных уравнений увеличивающейся размерности относительно функций условных математических ожиданий и ковариаций вектора состояния. Изложенная схема демонстрируется на примере стохастической системы второго порядка, изменения запаздывания которой описываются марковской цепью с пятью состояниями. Все расчеты и построение графиков проводились в среде математического пакета Mathematica с помощью программы, написанной на входном языке этого пакета.

На основе анализа теории размерностей вводится набор безразмерных параметров, характеризующих класс задач, описывающих фильтрационные течения жидкостей и газов к трещинам гидравлического разрыва пласта (ГРП).

В предыдущей работе автора определено параметрическое семейство конечномерных пространств специальных квадратичных сплайнов лагранжевого типа. В каждом пространстве в качестве решения начально-граничной задачи для простейшего волнового уравнения предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей. Формула для невязки представляет собой положительно определенную квадратичную форму от этих же величин, однако из-за своей громоздкости она плохо приспособлена для анализа качества аппроксимации исходной задачи при варьировании параметрами.

Получено альтернативное представление для невязки, представляющее собой положительно определенную квадратичную форму от новых конечных разностей, заданных на границе. Элементы матрицы формы выражаются через многочлены Чебышёва, матрица обратима и такова, что обратная матрица имеет трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матрицы верхние и нижние оценки, не зависящие от размерности N. Данное обстоятельство позволяет провести исследование на качество аппроксимации для разных размерностей N и весовых коэффициентов ω∈[-1,1]. Показано, что наилучшее приближение дает параметр ω=0, а невязка стремится к нулю с ростом N.

В предыдущей работе авторов определено параметрическое семейство конечномерных пространств специальных квадратичных сплайнов лагранжевого типа. В каждом пространстве в качестве решения начально-граничной задачи для простейшего уравнения теплопроводности предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей. Формула для невязки представляет собой положительно определенную квадратичную форму от этих же величин, однако из-за своей громоздкости она плохо приспособлена для анализа качества аппроксимации исходной задачи при варьировании параметрами.

Получено альтернативное представление для невязки, представляющее собой сумму двух положительно определенных квадратичных форм от новых конечных разностей, заданных на границе. Матрица первой формы имеет второй порядок и очевидный спектр. Элементы второй матрицы порядка N + 1 выражаются через многочлены Чебышева, матрица обратима и такова, что обратная матрица имеет трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матрицы верхние и нижние оценки, не зависящие от размерности N. Данное обстоятельство позволяет провести исследование на качество аппроксимации для разных размерностей N и весовых коэффициентов ω ∈ [−1, 1]. Показано, что наилучшее приближение дает параметр ω = 0, а невязка стремится к нулю с ростом N.