Все выпуски

Проведен обзор моделей, приводящих к неинтегрируемому уравнению Островского и его обобщениям, не имеющим точных уединенно-волновых решений. Приведен краткий вывод уравнения Островского для продольных волн в геометрически нелинейном стержне, лежащем на упругом основании. Показано, что в случае осесимметричного распространения пучка продольных волн в физически нелинейной цилиндрической оболочке, взаимодействующей с нелинейно-упругой средой, для компоненты перемещения возникает обобщенное уравнение Буссинеска-Островского шестого порядка. Построено точное кинкоподобное решение этого уравнения, установлена связь с обобщенным нелинейным уравнением Шрёдингера и найдено решение последнего уравнения в форме устойчивой солитоноподобной бегущей волны с монотонно затухающими или колебательными хвостами.

Для обобщенного уравнения Гинзбурга–Ландау, содержащего как кубическую нелинейность, так и нелинейность более высокой степени, рассмотрена периодическая краевая задача. Показано, что для такого обобщения уравнения Гинзбурга–Ландау может быть реализован вариант докритической жесткой бифуркации двумерных инвариантных торов бегущих волн.

Рассматривается движение частиц вязкой несжимаемой жидкости, вызванное распространением по свободной поверхности волны малой амплитуды. Получены уравнения движения жидких частиц при наличии бегущей или стоячей волны на поверхности бесконечно глубокого слоя. При распространении бегущей волны траектории имеют вид спирали, центр которой соответствует состоянию покоя. Влияние вязкости проявляется как в уменьшении амплитуды колебаний со временем, так и в отличии формы траекторий частиц, находящихся вблизи свободной поверхности и при заглублении. В случае стоячей волны движение каждой частицы происходит по отрезкам, длина которых с течением времени уменьшается. Направление движения изменяется от вертикального в пучностях до горизонтального в узлах.

Для нахождения решений гиперболического уравнения Аллена-Кана использован метод первого интеграла, который следует из известной теоремы Гильберта о нулях. Получены точные аналитические решения в виде бегущей волны, определяющие полный класс решений гиперболического уравнения Аллена-Кана. Показано, что в этом классе существует два подкласса решений: подкласс непрерывных решений и подкласс разрывных решений с сингулярностью в начале координат. Такая неединственность решений ставит вопрос об устойчивом аттракторе, то есть о решении бегущей волны, к которому будут стремиться нестационарные состояния, определяемые гиперболическим уравнением Аллена-Кана. Найденные решения включают в себя как частный случай полученные ранее решения для параболического уравнения Аллена-Кана в виде конечного числа $\tanh$-функций.

Рассматривается двухслойная система, состоящая из слоя пористой среды конечной толщины и слоя однородной жидкости над ним. Пористый слой ограничен снизу твердой стенкой, верхняя граница жидкости рассматривается как недеформируемая. Исследуется влияние процесса вымывания растворенной примеси, содержащейся в жидкости, заполняющей слой пористой среды, на устойчивость стационарного плоскопараллельного течения однородной жидкости над ним. Пористая среда описывается моделью Бринкмана с условиями Ошоа-Тапия-Уитейкера на границе раздела потоков. Получено точное и приближенное решение для профиля концентрации примеси. В приближении «замороженного» распределения концентрации найден квазистационарный профиль скорости течения в системе. Проведено численное исследование линейной задачи устойчивости течения в широком диапазоне различных параметров задачи. При достижении достаточной скорости течения в системе развиваются колебательные возмущения, приводящие к развитию бегущих волн на границе раздела. Показано, что учет конвективного и диффузионного транспорта примеси практически не оказывает влияния на структуру нейтральных кривых и критические числа Рейнольдса.