Все выпуски

Работа посвящена развитию полиэдральных методов решения двух задач управления линейными многошаговыми системами с неопределенностями при фазовых ограничениях — задач терминального сближения и уклонения. Они возникают в системах с двумя управлениями, где цель одного — привести траекторию на заданное конечное множество в заданный момент времени, не нарушая фазовых ограничений, цель другого — противоположна. Предполагается, что конечное множество — параллелепипед, управления стеснены параллелотопозначными ограничениями, фазовые ограничения заданы в виде полос. Представлены методы решения обеих задач с использованием полиэдральных (параллелотопо- или параллелепипедо-значных) трубок. Методы решения задачи сближения предложены автором ранее, но здесь исследуются их дополнительные свойства. В частности, для случая без фазовых ограничений найдены гарантированные оценки для траектории, обеспечивающие ее нахождение внутри трубки. Даны удобные достаточные условия, гарантирующие получение невырожденных сечений в процессе вычислений. Для задачи уклонения сначала рассматривается общая схема решения, а затем предлагаются полиэдральные методы. Приводятся и сравниваются целые параметрические семейства внешних и внутренних полиэдральных оценок трубок разрешимости обеих задач. Приведен иллюстрирующий пример.

Рассматривается стационарная управляемая система в конечномерном эвклидовом пространстве и на конечном промежутке времени. Изучается задача о сближении управляемой системы с компактным целевым множеством на заданном промежутке времени. Один из подходов к решению рассматриваемой задачи о сближении основан на выделении в пространстве позиций множества разрешимости, т.е. множества всех позиций системы, из которых, как из начальных, разрешима задача о сближении. Конструирование множества разрешимости - самостоятельная сложная и трудоемкая задача, которую удается точно решить лишь в редких случаях. В настоящей работе рассматриваются вопросы приближенного конструирования множества разрешимости в задаче о сближении нелинейной стационарной управляемой системы. Эта задача, как известно, тесно сопряжена с задачей конструирования интегральных воронок и трубок траекторий управляемых систем. Интегральные воронки управляемых систем можно приближенно конструировать по (временным) шагам как наборы соответствующих множеств достижимости, поэтому одним из основных элементов разрешающей конструкции в настоящей работе являются множества достижимости. В работе предлагается схема приближенного вычисления множества разрешимости задачи о сближении управляемой стационарной системы на конечном промежутке времени. В основе этой схемы лежит сведение к приближенному вычислению множеств разрешимости конечного числа более простых задач - задач о сближении с целевым множеством в фиксированные моменты времени из заданного временного промежутка. При этом моменты времени должны выбираться достаточно плотно в упомянутом промежутке времени. В работе проведено математическое моделирование задачи о сближении механической системы «Трансляционный осциллятор с ротационным актуатором». Представлено графическое сопровождение решения задачи.

Рассматривается нелинейная управляемая система в конечномерном евклидовом пространстве, заданная на конечном промежутке времени. Изучается одна из основных задач математической теории управления - задача о сближении фазового вектора управляемой системы с компактным целевым множеством в фазовом пространстве в фиксированный момент времени. В этой работе в качестве целевого множества выбрано множество Лебега скалярной липшицевой функции, определенной на фазовом пространстве. Упомянутая задача о сближении тесно связана с многими важными и ключевыми задачами теории управления, в частности с задачей об оптимальном по быстродействию приведении управляемой системы на целевое множество. Из-за сложности задачи о сближении для нетривиальных управляемых систем аналитическое представление решений невозможно даже для относительно простых управляемых систем. Поэтому в настоящей работе мы изучаем прежде всего вопросы, связанные с конструированием приближенного решения задачи о сближении. Конструирование приближенного решения тем методом, который изложен в работе, связано прежде всего с конструированием интегральной воронки управляемой системы, представленной в так называемом «обратном» времени. К настоящему времени известно несколько алгоритмов конструирования разрешающего программного управления в задаче о сближении. Здесь представлен алгоритм построения управления, основанный на максимальном притяжении движения системы к множеству разрешимости задачи о сближении. В работе приведены примеры.

Рассматривается управляемая механическая система с сухим трением и позиционным импульсным или позиционным разрывным управлением. Она может быть представлена в виде уравнений Лагранжа второго рода:

A(t,q)d²q/dt²=g(t,q,dq/dt)+Q^A(t,q,dq/dt)+Q^T(t,q,dq/dt)+u, t∈I=[t₀,t₀+T]. (1)

Целью управления является  движение системы по  множеству S={(t,q,dq/dt)∈I×Rⁿ×Rⁿ: σ(t,q,dq/dt)=0} (задача стабилизации) или в окрестности этого множества (задача сближения). Первая задача решается с использованием  позиционного управления релейного типа с ограниченными ресурсами, для которых режим декомпозиции является устойчивым скользящим режимом системы (1). При недостаточности ресурсов обычного разрывного управления движение системы в окрестности  множества S происходит при помощи высокочастотных импульсных воздействий на нее в дискретные моменты времени в импульсно-скользящем режиме, равномерный предел которого (идеальный импульсно-скользящий режим) совпадает с режимом декомпозиции. Отличительной особенностью поставленных задач является наличие в системе (1) сил сухого трения, которые, вообще говоря, могут рассматриваться как некоторые неуправляемые разрывные или многозначные возмущения.

Основные понятия даны во введении статьи. В первом разделе показана связь между идеальными импульсно-скользящими режимами включения

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+u,

где u - позиционное импульсное управление, и скользящими режимами системы

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+B(t,x)ũ(t,x)

с позиционным разрывным управлением. Второй раздел посвящен системам вида (1). В третьем разделе рассматривается важное для приложений целевое множество S системы (1), которое определяется векторной функцией σ(t,q,dq/dt)=dq/dt-φ(t,q). Для последнего случая использованы  более простые и содержательные условия, гарантирующие существование скользящих режимов для системы с позиционным разрывным управлением. В заключении рассмотрен пример.

В настоящей работе рассматривается естественная релаксация игровой задачи наведения. А именно, для двух замкнутых множеств - параметров задачи - решается аналогичная задача о наведении для $\varepsilon$-окрестностей данных множеств. Нас интересует наименьший размер таких окрестностей, для которых игрок I может решить задачу наведения в классе обобщенных квазистратегий. Для построения решения используется модификация метода программных итераций. Вышеупомянутый размер окрестностей находится как функция позиции и в дальнейшем определяется путем применения специальной итерационной процедуры. Также в работе показано, что искомая функция является неподвижной точкой оператора, определяющего данную процедуру.

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается задача преследования группой преследователей двух убегающих, описываемая линейной системой с простой матрицей в заданной временно́й шкале. Предполагается, что убегающие используют одно и то же управление. Преследователи действуют согласно квазистратегиям на основе информации о начальных позициях и предыстории управления убегающих. Множество допустимых управлений для каждого из участников представляет собой шар единичного радиуса с центром в начале координат, терминальные множества — начало координат. Целью группы преследователей является поимка двух убегающих. При исследовании в качестве базового используется метод разрешающих функций, позволяющий получить достаточные условия разрешимости задачи сближения за некоторое гарантированное время. В терминах начальных позиций и параметров игры получено достаточное условие поимки убегающих.

Рассматривается нелинейная управляемая система в конечномерном евклидовом пространстве и на конечном промежутке времени, зависящая от параметра. Изучаются множества достижимости и интегральные воронки дифференциального включения, соответствующего управляемой системе, содержащей параметр. При исследовании многочисленных задач теории управления и дифференциальных игр, конструировании их решений и оценивании погрешностей применяются различные теоретические подходы и ассоциированные с ними вычислительные методы. К упомянутым задачам принадлежат, например, различного рода задачи о сближении, разрешающие конструкции которых могут быть описаны достаточно просто в терминах множеств достижимости и интегральных воронок. В настоящей работе изучается зависимость множеств достижимости и интегральных воронок от параметра: оценивается степень этой зависимости от параметра при определенных условиях на управляемую систему. Степень зависимости интегральных воронок исследована на предмет изменения их объема при варьировании параметра. Для оценки этой зависимости вводятся системы множеств в фазовом пространстве, аппроксимирующие множества достижимости и интегральные воронки на заданном промежутке времени, отвечающие конечному разбиению этого промежутка. При этом сначала оценивается степень зависимости аппроксимирующей системы множеств от параметра, и затем эта оценка используется при оценке зависимости объема интегральной воронки дифференциального включения от параметра. Такой подход естественен и особенно полезен при изучении конкретных прикладных задач управления, при решении которых в конечном итоге приходится иметь дело не с идеальными множествами достижимости и интегральными воронками, а с их аппроксимациями, отвечающими дискретному представлению временного промежутка.

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается задача преследования группой преследователей двух убегающих, описываемая системой вида $$ \dot z_{ij} = u_i - v,\quad u_i,v \in V. $$ Предполагается, что убегающие используют одно и то же управление. Преследователи используют контрстратегии на основе информации о начальных позициях и предыстории управления убегающих. Множество допустимых управлений $V$ — шар единичного радиуса с центром в начале координат, целевые множества — начало координат. Целью группы преследователей является поимка хотя бы одного убегающего двумя преследователями. В терминах начальных позиций и параметров игры получено достаточное условие поимки. При исследовании в качестве базового используется метод разрешающих функций, позволяющий получить достаточные условия разрешимости задачи сближения за некоторое гарантированное время.

Рассматривается стационарная управляемая система в евклидовом пространстве, заданная на конечном промежутке времени. Изучается одна из центральных в теории управления задач  задача о сближении управляемой системы с множеством в фазовом пространстве системы в фиксированный (конечный) момент времени. Эта задача тесно связана с многими ключевыми задачами теории управления, например, с задачей об оптимальном быстродействии. В связи с этим представляется важным иметь эффективные алгоритмы построения решений этой задачи. Из-за сложности задачи невозможно аналитическое описание решений даже в относительно простых случаях. Построение приближенных решений задачи связано с конструированием интегральной воронки управляемой системы, но обращенной во времени. В работе приводится один алгоритм приближенного построения интегральной воронки, представляющей собой конечную аппроксимацию множества разрешимости задачи о сближении. В работе также описана процедура приближенного вычисления разрешающего управления, которая включает в себя запоминание локальных управлений. Приводится иллюстрирующий пример механической управляемой системы.

Рассматривается нелинейная управляемая система в конечномерном евклидовом пространстве на конечном промежутке времени. Изучается задача о сближении системы с заданным компактом в конечный момент времени. Обсуждается проблема приближенного решения задачи о сближении. Используется подход к построению приближенного решения задачи, основу которого составляют конструкции, базирующиеся на понятии множества разрешимости задачи о сближении. Вводится понятие управления-компенсатора как с дополнительными управляющими воздействиями, так и без них. Предлагается новая схема приближенного попятного построения множества разрешимости, а также схема конструирования программного управления, разрешающего приближенно задачу о сближении. В ней управляющее воздействие разбивается на «основное» и «компенсирующее». Построена оценка отклонения управляемой системы от целевого множества в конечный момент времени и тем самым показано, что использование в процессе управления дополнительного управления-компенсатора может существенно улучшить результат управления системой.