Все выпуски

Рассматривается игровая задача на максимин функции платы, определенной на произведении множеств притяжения терминальных состояний систем первого и второго игрока. Данные множества притяжения найдены с помощью конструкций расширения в классе конечно-аддитивных мер.

В работе рассматривается задача оптимального управления одномерным процессом, заданным стохастическим дифференциальным уравнением, в котором управление воздействует как на коэффициент сноса, так и на коэффициент диффузии, при этом диффузионная составляющая линейна по управлению $$dx(t) = b(t,x(t),u(t))dt +\sigma(t,x(t))u(t)dW(t),\qquad x(0) = x_0.$$ Здесь $x(t)$ - фазовая координата, $u(t)$ - управляющая функция, $W(t)$ - винеровский процесс. Доказана теорема, которая предоставляет структуру решения рассматриваемого уравнения в виде суперпозиции функций $x(t)=Φ(t,u(t)W(t)+y(t))$, в котором $Φ(t,v)$ - известная функция, полностью определяющаяся коэффициентом $σ(t,x)$, и не зависит от управления, а $y(t)$ - решение потраекторно-детерминированного дифференциального уравнения с мерой вида

$$dy(t) = B(t,y(t),u(t))dt - W(t)du(t).$$

Выявленная структура решения позволяет вместо исходной стохастической задачи оптимального управления исследовать новую эквивалентную задачу с фазовой переменной $y(t)$, которая является потраекторно-детерминированной задачей оптимального импульсного управления. При детерминированном рассмотрении новой задачи решения последней могут оказаться упреждающими функциями, поэтому в работе предлагается метод, который позволяет добиться неупреждаемости оптимальных решений. Суть метода заключается в модификации функционала потерь в новой потраекторно-детерминированной задаче специальным образом подобранным интегральным слагаемым, которое позволяет гарантировать неупреждаемость решений.

Получены достаточные условия асимптотической устойчивости и слабой асимптотической устойчивости заданного множества $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in [t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$ относительно управляемой системы с импульсным воздействием в предположении, что функция $t\mapsto M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и замкнуто. Также получены условия, при которых для каждого решения $x(t,x_0)$ управляемой системы, выходящего из достаточно малой окрестности множества $M(t_0),$ найдется момент времени $t^*$ такой, что точка $(t,x(t,x_0))$ принадлежит $\mathfrak M$ при всех $t\in [t^*,+\infty).$ Некоторые из представленных здесь утверждений являются аналогами результатов Е.А. Панасенко и Е.Л. Тонкова для систем с импульсами, в других утверждениях существенно используется специфика импульсного воздействия. Результаты работы проиллюстрированы на примере модели «вредитель-биоагент» с импульсным управлением в предположении, что вбросы биоагентов (природных врагов данных вредителей) происходят в фиксированные моменты времени и количество вредителей, потребляемых в среднем одним биоагентом за единицу времени, задается трофической функцией Холлинга. Получены условия асимптотической устойчивости множества $\mathfrak M=\bigl\{(t,x)\in \mathbb R^3_+: x_1\leqslant C_1\bigr\},$ где $x_1={y_1}/{K},$ $y_1$ - размер популяции вредителей, $K$ - емкость среды.

В статье рассматривается класс линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с последействием, непрерывным и дискретным временем и импульсными воздействиями (импульсные гибридные ФДУ). В центре внимания находятся конструкции операторов, позволяющих дать полное описание всех траекторий гибридной системы, и в терминах этих операторов формулировать условия разрешимости задач управления с выбором управлений из различных классов, давать описание (оценки) множеств достижимости при наличии ограничений на управление, а также получать условия разрешимости общих линейных краевых задач. Дается детальное описание всех компонент оператора Коши, изучаются их свойства. Для компонент с непрерывным временем получены условия их непрерывности по второму аргументу, влияющие на возможность выбора класса управляющих воздействий. Упомянутые конструкции систематически используют результаты о матрицах Коши систем ФДУ с непрерывным временем и систем разностных уравнений с дискретным временем.

Рассматривается игровая задача импульсной встречи в заданный момент времени, в случае когда первый игрок выбирает группу импульсных управлений, на выбор каждого из которых в процессе управления можно потратить свое заданное количество ресурсов. На выбор управления второго игрока накладывается геометрическое ограничение. Найдены достаточные условия возможности окончания игры из заданного начального состояния и построены соответствующие импульсные управления.

Рассматривается линейная дифференциальная игра с заданным моментом окончания $p$. Множества достижимости игроков являются $n$-мерными шарами. Терминальное множество в игре определяется условием принадлежности нормы фазового вектора отрезку с положительными концами. Множество, определяемое данным условием, названо в работе кольцом. Тот факт, что терминальное множество не является выпуклым, потребовал привлечения дополнительной теории, позволяющей находить сумму и разность Минковского для кольца и шара в $n$-мерном пространстве. На выбор управления первого игрока накладывается импульсное ограничение. Возможности первого игрока определяются запасом ресурсов, который он может использовать при формировании своего управления. В отдельные моменты времени возможно отделение части запаса ресурсов, что может привести к «мгновенному» изменению фазового вектора, тем самым усложняя задачу. Управление второго игрока стеснено геометрическими ограничениями. Цель первого игрока заключается в том, чтобы в заданный момент времени привести фазовый вектор на терминальное множество. Цель второго игрока противоположна. Построен максимальный стабильный мост, ведущий в заданный момент времени на терминальное множество. Стабильный мост определяется функциями внешнего и внутреннего радиусов, которые вычислены в явном виде.

Рассматривается управляемая механическая система с сухим трением и позиционным импульсным или позиционным разрывным управлением. Она может быть представлена в виде уравнений Лагранжа второго рода:

A(t,q)d²q/dt²=g(t,q,dq/dt)+Q^A(t,q,dq/dt)+Q^T(t,q,dq/dt)+u, t∈I=[t₀,t₀+T]. (1)

Целью управления является  движение системы по  множеству S={(t,q,dq/dt)∈I×Rⁿ×Rⁿ: σ(t,q,dq/dt)=0} (задача стабилизации) или в окрестности этого множества (задача сближения). Первая задача решается с использованием  позиционного управления релейного типа с ограниченными ресурсами, для которых режим декомпозиции является устойчивым скользящим режимом системы (1). При недостаточности ресурсов обычного разрывного управления движение системы в окрестности  множества S происходит при помощи высокочастотных импульсных воздействий на нее в дискретные моменты времени в импульсно-скользящем режиме, равномерный предел которого (идеальный импульсно-скользящий режим) совпадает с режимом декомпозиции. Отличительной особенностью поставленных задач является наличие в системе (1) сил сухого трения, которые, вообще говоря, могут рассматриваться как некоторые неуправляемые разрывные или многозначные возмущения.

Основные понятия даны во введении статьи. В первом разделе показана связь между идеальными импульсно-скользящими режимами включения

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+u,

где u - позиционное импульсное управление, и скользящими режимами системы

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+B(t,x)ũ(t,x)

с позиционным разрывным управлением. Второй раздел посвящен системам вида (1). В третьем разделе рассматривается важное для приложений целевое множество S системы (1), которое определяется векторной функцией σ(t,q,dq/dt)=dq/dt-φ(t,q). Для последнего случая использованы  более простые и содержательные условия, гарантирующие существование скользящих режимов для системы с позиционным разрывным управлением. В заключении рассмотрен пример.

Продолжено исследование условий положительной инвариантности и асимптотической устойчивости заданного множества относительно управляемой системы с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in [t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, где функция $t\rightarrow M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены условия слабой положительной инвариантности данного множества, слабой равномерной устойчивости по Ляпунову и слабой асимптотической устойчивости. Также доказана теорема сравнения для решений систем и уравнений с импульсами, следствием которой являются условия существования решений системы, асимптотически стремящихся к нулю. Полученные результаты проиллюстрированы на примере модели конкуренции двух видов, подверженных импульсному управлению в фиксированные моменты времени.

Рассматривается задача управления линейной системой нейтрального типа с импульсными ограничениями. Кроме того, предполагается заданной система промежуточных условий. Исследуется постановка, в которой допускается исчезающе малое ослабление упомянутых ограничений. В этой связи область достижимости (ОД) в фиксированный момент окончания процесса заменяется естественным асимптотическим аналогом — множеством притяжения (МП). Для построения последнего используется конструкция расширения в классе конечно-аддитивных (к.-а.) мер, используемых в качестве обобщенных управлений. Показано, что МП совпадает с ОД системы в классе обобщенных управлений – к.-а. мер. Исследуется структура упомянутого МП.

Рассматривается линейная дифференциальная игра с импульсным управлением первого игрока. Возможности первого игрока определяются запасом ресурсов, который он может использовать при формировании своего управления. В отдельные моменты времени возможно отделение части запаса ресурсов, что может привести к «мгновенному» изменению фазового вектора, тем самым задача усложняется. Управление второго игрока стеснено геометрическими ограничениями. Вектограммы игроков описываются одним и тем же шаром с разными радиусами, зависящими от времени. Терминальное множество в игре определяется условием принадлежности нормы фазового вектора отрезку с положительными концами. Множество, определяемое данным условием, названо в работе кольцом. Цель первого игрока заключается в том, чтобы в заданный момент времени привести фазовый вектор на терминальное множество. Цель второго игрока противоположна. С помощью максимального стабильного моста, определенного авторами ранее, построены оптимальные управления игроков.