Все выпуски

Рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе, являющийся гамильтонианом электрона, в приближении сильной связи в системе, состоящей из квантовой проволоки и двух внедренных квантовых точек. Данный оператор описывает двухбарьерную резонансную наноструктуру, причем один из барьеров представляет собой нелокальный потенциал. Описан существенный и абсолютно непрерывный спектр оператора. Изучается задача рассеяния в стационарной постановке для двух возможных направлений распространения частицы. Найдены условия полного отражения и полного прохождения.

Автономные нелинейные дифференциальные уравнения представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые часто применяются в различных областях механики, квантовой физики, химического машиностроения, физики и прикладной математики. Здесь рассматриваются автономные нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка ${u}''({x}) - {u}'({x}) = {f}[{u}({x})]$ и ${u}''({x}) + {f}[{u}({x})]{u}'({x}) + {u}({x}) = 0$ на промежутке $[-1, 1]$ с заданными граничными значениями ${u}[-1]$ и ${u}[1]$. Для решения этих задач используется псевдоспектральный метод, основанный на матрице дифференцирования Чебышева с точками Чебышева-Гаусса-Лобатто. Для нахождения приближенных решений построены две новые итерационные процедуры. В этой статье был использован язык программирования Mathematica версии 10.4 для представления алгоритмов, численных результатов и рисунков. В качестве примера численного моделирования исследовано известное уравнение Ван дер Поля и получены хорошие результаты. Впоследствии возможно применение полученных результатов к другим нелинейным системам, таким как уравнения Рэлея, уравнения Льенара и уравнения Эмдена-Фаулера.

Исследуются спектральные свойства дискретного оператора Шредингера для бесконечной полосы с нулевыми граничными условиями. Доказано, что для малых убывающих потенциалов вблизи особенностей невозмущенной функции Грина (граничных точек подзон) возникают собственные значения и резонансы, найдена их асимптотика. Описана картина рассеяния; явление дифракции (рассеяние, главным образом, по конечному числу выделенных направлений) трансформируется в рассматриваемой квазиодномерной системе в волны во времени вероятностей прохождения и отражения. Получены простые формулы для данных вероятностей вблизи граничных точек подзон (это отвечает малым скоростям квантовой частицы) в случае малых потенциалов.

В статье рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе с вершинами на двух пересекающихся прямых, возмущенный убывающим потенциалом. Данный оператор является гамильтонианом электрона вблизи структуры, образованной квантовой точкой и выходящими из нее четырьмя квантовыми проволоками в приближении сильной связи, широко используемом в настоящее время в физической литературе для изучения подобных наноструктур. Доказаны существование и единственность решения соответствующего уравнения Липпмана–Швингера, для решения получена асимптотическая формула. Изучена нестационарная картина рассеяния. Исследуется задача рассеяния для данного оператора в случае малого потенциала, а также в случае, когда малы как потенциал, так и скорость квантовой частицы. Получены асимптотические формулы для вероятностей распространения частицы во всех возможных направлениях.

В последнее десятилетие в физической литературе активно изучаются топологические изоляторы. Топологический изолятор - особый тип материала, который внутри объема представляет собой изолятор, а на поверхности проводит электрический ток. Топологические изоляторы обладают интересными физическими свойствами. Например, топологические свойства этого материала могут устойчиво сохраняться вплоть до высоких температур. Топологические изоляторы могут найти применение в самых разнообразных устройствах микроэлектроники: от очень быстрых и экономичных процессоров до топологических квантовых компьютеров. Электрон в топологическом изоляторе описывается безмассовым оператором Дирака. Такие операторы в квазиодномерных структурах (например, в полосках с различными граничными условиями) весьма интересны не только с физической, но и с математической точки зрения, однако до сих пор недостаточно изучены математиками. В данной статье рассматривается разностный оператор Дирака для потенциала вида $V_0 \delta_{n0}.$ Описан спектр и найдены собственные значения такого оператора. Кроме того, исследованы квазиуровни (собственные значения и резонансы) в случае малых потенциалов.

Рассматривается гамильтониан Боголюбова – де Жена, возмущенный малым потенциалом, описывающий квазичастицы вида «электрон плюс дырка», в частности андреевские локализованные состояния (АЛС) в одномерной сверхпроводящей структуре при наличии примеси. Интерес к упомянутым квазичастицам резко возрос в последние 15-20 лет благодаря открытию в топологических сверхпроводниках майорановских локализованных состояний (МЛС). МЛС представляют собой устойчивые к внешним воздействиям нейтральные квазичастицы с нулевой энергией, весьма перспективные для будущего использования в квантовых вычислениях. Исследование возникновения и поведения, в зависимости от параметров системы и топологической фазы, АЛС, описываемых собственными функциями гамильтониана Боголюбова – де Жена, интересно как с математической точки зрения, в сравнении с обычным оператором Шрёдингера, так и с физической, поскольку может прояснить предпосылки возникновения МЛС в топологически нетривиальной фазе и майораноподобных состояний (часто играющих роль МЛС) в топологически тривиальной фазе. Изучение рассеяния интересно тем, что вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер пропорциональна кондактансу, который можно измерить в эксперименте, что в принципе дает возможность связать величину кондактанса с наличием АЛС. В статье найдены условия возникновения собственных значений (энергий квазичастиц) в сверхпроводящей щели, имеющейся в непрерывном спектре гамильтониана, а также их зависимость от параметров как в топологически нетривиальной, так и в топологически тривиальной фазах. Кроме того, исследована задача рассеяния для энергий вблизи границы щели; в частности, найдена вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер как функция от параметров системы.

Для дискретного оператора Шредингера на графе с вершинами на пересечении двух прямых c потенциалом определенного вида в окрестностях точек ±2 (граничных точек существенного спектра) доказаны существование и единственность квазиуровней (собственных значений или резонансов), для них получены асимптотические формулы. Найдены условия, при которых коэффициент отражения равен нулю.