Все выпуски

Настоящая работа посвящена исследованию асимптотических свойств числа серий в последовательности дискретных случайных величин, управляемых цепью Маркова с конечным числом состояний. Состояние цепи на каждом шаге определяет закон распределения знаков в управляемой последовательности на этом шаге. Такая случайная последовательность представляет собой модель скрытой марковской цепи. При помощи метода Чена-Стена получена оценка расстояния по вариации между распределением числа серий длины не меньше заданной в случайной последовательности, управляемой цепью Маркова, и сопровождающим распределением Пуассона. Для ее вывода сначала рассматривалась последовательность из независимых неоднородных полиномиальных случайных величин, а затем использован прием, позволяющий получить оценку расстояния по вариации между смешанным пуассоновским распределением и пуассоновским распределением с параметром, равным среднему числу серий длины не меньше заданной. Эта оценка строится на основе дисперсии параметра смешанного пуассоновского распределения и выведенной ранее оценки для расстояния по вариации для полиномиальной схемы. Отдельно рассмотрен случай стационарной цепи Маркова. При помощи полученных оценок доказаны пуассоновская и нормальная предельные теоремы для числа серий длины не меньше заданной, а также найдено предельное распределение для наибольшей длины серии в управляемой случайной последовательности.

Рассматривается структурированная популяция, особи которой разделены на возрастные или типические группы, заданная нормальной автономной системой разностных уравнений. Для данной популяции исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на конечном или бесконечном промежутках времени. Для популяции, эксплуатируемой на конечном промежутке, описана стратегия промысла, при которой достигается наибольшее значение общей стоимости изымаемого ресурса. Если же добыча ресурса происходит на неограниченном промежутке, то определяется средняя временная выгода и вычисляется ее значение при стационарном режиме эксплуатации; рассматриваются случаи, когда система имеет асимптотически устойчивую неподвижную точку или устойчивый цикл. Также описана стратегия промысла, которая является оптимальной среди других способов эксплуатации; показано, что при определенных условиях она является стационарной или отличается от стационарной только значением управления в начальный момент времени. Результаты работы проиллюстрированы на примере двухвозрастной эксплуатируемой популяции, в которой промысловому изъятию подвержены особи или младшей, или обеих возрастных групп.

Рассматривается трехмерная бидиффузионная конвекция в бесконечном по горизонтали слое несжимаемой жидкости в окрестности точек бифуркации Хопфа, взаимодействующая с полем горизонтальной завихренности. Методом многомасштабных разложений получено семейство амплитудных уравнений, описывающее вариации амплитуды конвективных ячеек, форма которых задаётся как суперпозиция конечного числа конвективных валиков с различными волновыми векторами.

Для численного моделирования полученных систем амплитудных уравнений были разработаны несколько численных схем, основанных на современных ETD (exponential time differencing) псевдоспектральных методах. Написаны пакеты программ для моделирования валиковой конвекции, а также конвекции с ячейками квадратного и гексагонального типов. Численное моделирование показало, что конвекция имеет вид вытянутых "облаков" или "нитей". Было замечено, что в системе достаточно быстро развивается состояние диффузионного хаоса, когда первоначальное симметричное состояние разрушается, и конвекция становится нерегулярной как по пространству, так и по времени. При этом в некоторых областях возникают пиковые всплески завихренности.

Изучаются статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, которая параметризована с помощью топологической динамической системы. Получены оценки снизу характеристик, связанных с инвариантностью заданного множества на конечном промежутке времени. Рассматривается также следующая задача, возникающая во многих приложениях. Пусть заданы числа λ₀ ∈ (0, 1] и θ > 0. Необходимо найти условия, которым должны удовлетворять управляемая система и множество X, чтобы для заданного σ ∈ Σ относительная частота поглощения множества достижимости A(t,σ,X) системы заданным множеством M на любом отрезке времени длины θ была бы не менее λ₀. Отметим, что характеристика θ предполагается заданной в зависимости от прикладной задачи. В частности, если управляемый процесс имеет периодический характер, то θ является периодом данного процесса. Результаты работы иллюстрируются на примерах управляемых систем, которые описывают различные модели роста популяции.

В работе рассматривается модель химической кинетики, для которой вывод уравнений не опирается на закон действующих масс, а строится на основе таких принципов, как геометрическая вероятность, а также совместная вероятность для двух событий. Для этой модели строится обобщение на случай реакции-диффузии в гетерогенной среде, а также учитывается конвекционный и диффузионный перенос тепловой энергии. Построение данного обобщения проводится по альтернативной методике на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений и без перехода к частным производным. По своему описанию этот подход близок к методу конечных объемов, но в отличие от него для описания диффузии применяются статистические упрощения и принцип геометрической вероятности. Подобный альтернативный вариант позволяет значительно упростить численную реализацию итоговой модели, а также упростить ее качественный анализ методами теории динамических систем. Помимо этого, также значительно повышается эффективность параллельной реализации численного метода для итоговой модели. Дополнительно к этому мы также рассмотрим приложение модели для описания эталонного примера кинетики с квазипериодическим режимом, а также рассмотрим алгоритм перевода стандартных моделей с размерными кинетическими константами к ее формализму.

Говорят, что в математической модели нелинейной распределенной автоколебательной системы наблюдается феномен буферности, если подходящим выбором параметров этой системы можно обеспечить существование конечного заранее заданного числа различных устойчивых циклов. В статье исследованы некоторые математические модели естествознания, демонстрирующие феномен буферности.

В работе рассматривается новая методика моделирования реакционно-диффузионных систем на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В отличие от специализированных численных методов, таких как метод прямых, новая методика позиционируется как чистая альтернатива на модельном уровне для уравнений в частных производных. По своему описанию новый метод во многом подобен методу конечных объемов, но в отличие от него для описания диффузии применяет статистические упрощения и принципы геометрической вероятности. Главными задачами данного подхода являются упрощение качественного анализа реакционно-диффузионных систем, а также повышение эффективности численной реализации модели. Первая задача успешно решается, так как для качественного анализа динамики модели на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений становится возможным использовать аппарат классической теории динамических систем. Вторая задача решается лишь отчасти, так как выигрыш при сохранении приемлемой точности для численной реализации будет существенным лишь для определенных, достаточно простых, начальных распределений молекул, а также для определенных коэффициентов диффузии. При этом для формирования критериев применимости на практике мы отдельно оцениваем погрешность моделирования с использованием данной новой методики.

В данной работе получена модель, описывающая движение точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости на конечном плоском цилиндре. Подробно рассмотрен случай двух вихрей. Показано, что уравнения движения вихрей могут быть представлены в гамильтоновой форме и обладают дополнительным первым интегралом. Предложена процедура редукции на фиксированный уровень первого интеграла. Для полученной редуцированной системы построены фазовые портреты, указаны неподвижные точки и особенности системы.

В настоящее время продолжают активно изучаться неэрмитовы топологические системы. В данной статье в строгом подходе изучена одна из ключевых неэрмитовых систем — модель Хатано–Нельсона $H$. Найдена функция Грина для этого гамильтониана. С помощью функции Грина аналитически получены собственные значения и собственные функции $H$ для конечных и полубесконечных цепей, а также для бесконечной цепи с локальным потенциалом. Обсуждается неэрмитов скин-эффект для упомянутых выше моделей. Также описана граница между локализованными и резонансными состояниями (при нулевой энергии — это граница между неэрмитовыми топологическими фазами).

На закруглениях речного русла формируются вторичные поперечные течения. В зависимости от геометрии русла вторичных течений в створе может быть несколько, и они могут иметь различный масштаб. Даже малое вторичное поперечное течение влияет на параметры гидродинамического потока и это влияние необходимо учитывать при моделировании русловых процессов и исследовании береговых деформаций русла. Трехмерное моделирование таких разномасштабных процессов требует больших вычислительных затрат и на текущий момент возможно только для небольших модельных каналов. Поэтому для исследования береговых процессов в данной работе предложена модель пониженной размерности. Выполненная редукция задачи от трехмерной модели движения речного потока к двумерной модели потока в плоскости створа канала предполагает, что рассматриваемый гидродинамический поток является квазистационарным и для него выполнены гипотезы об асимптотическом поведении потока по потоковой координате створа. С учетом данных ограничений в работе сформулирована математическая модель задачи о движении стационарного турбулентного спокойного речного потока в створе канала. Задача сформулирована в смешанной постановке скорости–вихрь–функция тока. В качестве дополнительных условий для редукции задачи требуется задание граничных условий на свободной поверхности потока для поля скорости, определяемого в нормальном и касательном направлении к оси створа. Предполагается, что значения данного поля скорости должно быть определено из решения вспомогательных задач или получено из данных натурных или экспериментальных измерений. Для численного решения сформулированной задачи используется метод конечных элементов в формулировке Петрова–Галеркина. В работе получен дискретный аналог задачи и предложен алгоритм ее решения. Выполненные численные исследования показали в целом хорошую согласованность полученных решений с известными экспериментальными данными. Погрешности численных результатов авторы связывают с необходимостью более точного определения радиальной компоненты поля скорости в створе потока путем подбора и калибровки более подходящей модели вычисления турбулентной вязкости и более точного определения граничных условий на свободной границе створа.