Все выпуски

Исследуются собственные значения и резонансы двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым убывающим потенциалом.

Рассматривается периодический оператор Шредингера Ĥ_A+V в Rⁿ, n≥3. На векторный потенциал A накладываются ограничения, которые, в частности, выполнены, если потенциал A принадлежит классу Соболева H^q_loc(Rⁿ;Rⁿ), 2q>n-1, а также в случае, когда Σ ||A_N||_Cⁿ<+∞, где A_N – коэффициенты Фурье потенциала A. Доказана абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шредингера Ĥ_A+V для скалярных потенциалов V из пространства Морри L^2,p(Rⁿ), p∈((n-1)/2,n/2], для которых ||Χ_Br(x)V||_2,p≤ε₀ при всех достаточно малых r>0 и всех x∈Rⁿ, где число ε₀=ε₀(n,p;A)>0 зависит от векторного потенциала A, B_r(x) – замкнутый шар радиуса r>0 с центром в точке x∈Rⁿ, Χ_Κ – характеристическая функция множества K⊆Rⁿ, ||.||_2,p –
норма в пространстве L^2,p(Rⁿ). Пусть K – элементарная ячейка решетки периодов потенциалов A и V, K* – элементарная ячейка обратной решетки. Оператор Ĥ_A+V  унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов Ĥ_A(k)+V, k∈2πK*, действующих в L²(K). Последние операторы рассматриваются также при комплексных векторах k+ik’∈Cⁿ. При доказательстве абсолютной непрерывности спектра оператора Ĥ_A+V используется метод Томаса и оценки резольвенты операторов Ĥ_A(k+ik’)+V при определенным образом выбираемых комплексных векторах k+ik’∈Cⁿ с достаточно большой мнимой частью k’.

В последние два десятилетия углеродные нанотрубки активно исследуются в физической литературе, что обусловлено многообещающими перспективами их применения в микроэлектронике; в то же время интересные математические свойства используемых при этом гамильтонианов, к сожалению, часто остаются без должного внимания математиков. В настоящей статье проведено математически строгое исследование спектральных свойств гамильтониана $H_{\varepsilon}=H_0+\varepsilon V$ где гамильтониан электрона в углеродной нанотрубке типа «зигзаг» $H_0$ записан в приближении сильной связи, а оператор $\varepsilon V$ (потенциал) имеет вид

$$(\varepsilon V\psi )(n)=\varepsilon { V_1\psi _1(n)\choose V_2\psi _2(n)}\delta_{n0}$$

здесь $\varepsilon >0$, $V_1,V_2$ - вещественные числа, $\delta_{n0}$ - символ Кронекера. Гамильтониан $H_{\varepsilon}$ отвечает углеродной нанотрубке с примесью, равномерно распределенной в сечении нанотрубки. Данный гамильтониан является разностным оператором, определенным на функциях из $(l^2(\Omega ))^2$, где $\Omega =\mathbb Z\times \{ 0,1,\ldots,N-1\}$, $N\geqslant 2$, удовлетворяющих периодическим граничным условиям. В статье, в частности, доказано, что для каждой подзоны спектра вблизи одной из граничных точек подзоны в случае малых потенциалов существует ровно один квазиуровень, то есть собственное значение или резонанс. Для квазиуровней получены асимптотические формулы вида

$$\lambda _l^{\pm}= \pm \Bigl|2\cos\frac{\pi l}{N}+1\Bigr|\cdot\Bigl(1+\frac{\varepsilon^2(V_1+V_2)^2}{16\cos\frac{\pi l}{N}}\Bigr)
+O(\varepsilon^3),$$

где $l$ - номер подзоны, $N$ - число атомов в сечении нанотрубки, $\pm$ - знак $\lambda$. Также найдено условие того, когда квазиуровень является собственным значением.

В статье рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе с вершинами на двух пересекающихся прямых, возмущенный убывающим потенциалом. Данный оператор является гамильтонианом электрона вблизи структуры, образованной квантовой точкой и выходящими из нее четырьмя квантовыми проволоками в приближении сильной связи, широко используемом в настоящее время в физической литературе для изучения подобных наноструктур. Доказаны существование и единственность решения соответствующего уравнения Липпмана–Швингера, для решения получена асимптотическая формула. Изучена нестационарная картина рассеяния. Исследуется задача рассеяния для данного оператора в случае малого потенциала, а также в случае, когда малы как потенциал, так и скорость квантовой частицы. Получены асимптотические формулы для вероятностей распространения частицы во всех возможных направлениях.

В последнее десятилетие в физической литературе активно изучаются топологические изоляторы. Топологический изолятор - особый тип материала, который внутри объема представляет собой изолятор, а на поверхности проводит электрический ток. Топологические изоляторы обладают интересными физическими свойствами. Например, топологические свойства этого материала могут устойчиво сохраняться вплоть до высоких температур. Топологические изоляторы могут найти применение в самых разнообразных устройствах микроэлектроники: от очень быстрых и экономичных процессоров до топологических квантовых компьютеров. Электрон в топологическом изоляторе описывается безмассовым оператором Дирака. Такие операторы в квазиодномерных структурах (например, в полосках с различными граничными условиями) весьма интересны не только с физической, но и с математической точки зрения, однако до сих пор недостаточно изучены математиками. В данной статье рассматривается разностный оператор Дирака для потенциала вида $V_0 \delta_{n0}.$ Описан спектр и найдены собственные значения такого оператора. Кроме того, исследованы квазиуровни (собственные значения и резонансы) в случае малых потенциалов.

Топологический изолятор - особый тип материала, который внутри («в объеме») представляет собой изолятор, а на поверхности проводит электрический ток. Простейшим топологическим изолятором является конечная цепочка атомов в полиацетилене. Тематика топологических изоляторов в рамках физики твердого тела очень актуальна в последнее время. Большой интерес в физической литературе к топологическим изоляторам (а также похожим на них в смысле топологии сверхпроводящим системам) в значительной степени вызван наличием связи, «соответствием» между «объемом» и «границей». В данной статье рассматривается дискретная модель SSH (Su-Schrieffer-Heeger) для полиацетилена, описывающая электрон в одномерной цепочке атомов с двумя чередующимися амплитудами перехода на соседний атом. Найдены резольвента и спектр рассматриваемого оператора. Исследованы квазиуровни (собственные значения и резонансы) в случае малого потенциала. Кроме того, найдено решение уравнения Липпмана-Швингера и получены асимптотические формулы для вероятностей прохождения и отражения в случае малого возмущения.

Углеродные нанотрубки активно исследуются в физической литературе в последние два десятилетия. Уникальные физические свойства, в частности высокая прочность и проводимость, обуславливают многообещающие возможности их применения в микроэлектронике. Несмотря на физическую актуальность этих задач, математически такие структуры исследовались очень мало. В данной работе в приближении сильной связи рассматривается гамильтониан электрона в однослойной нанотрубке типа «зигзаг» с примесью, равномерно распределенной в сечении нанотрубки. С помощью уравнения Липпмана-Швингера исследуется задача рассеяния для данного гамильтониана в случае малого потенциала примеси и медленных электронов. Поскольку электронная проводимость пропорциональна вероятности прохождения, фактически при этом изучается задача проводимости в нанотрубке. Получены простые формулы для коэффициентов отражения и прохождения. Найдены условия полного отражения и полного прохождения, а также условия возрастания и убывания вероятности прохождения.

Для произвольного твёрдого тела строится семейство равномоментных ему систем Рауса, определяемое семью независимыми параметрами. Каждому решению из семейства отвечает система из пяти точечных масс — четыре точки образуют невырожденный тетраэдр, а пятая точка располагается в его центре масс. Найденное решение является самым широким обобщением ранее полученных результатов и содержит их как частные случаи. Решение не допускает дальнейшего обобщения без увеличения числа точечных масс. У твёрдого тела и равномоментной ему системы Рауса совпадают моменты распределения масс вплоть до второго порядка. Неединственность равномоментных систем позволяет ставить задачу нахождения такой системы, которая наилучшим образом приближает моменты распределения масс старших порядков.

Рассмотрен случай неоднородного самогравитирующего вращающегося вокруг малой полуоси жидкого сфероида с гомофокальной стратификацией, находящегося в равновесии. Получены в общем виде выражения для давления, угловой скорости и гравитационного потенциала данного сфероида с произвольной функцией плотности. Проанализированы частные случаи кусочно-постоянной и непрерывной функции плотности.