Все выпуски

Определена конформная связность со скалярной кривизной как обобщение псевдориманова пространства постоянной кривизны. Вычислена матрица кривизны такой связности. Доказано, что на многообразии конформной связности со скалярной кривизной имеется конформная связность с нулевой матрицей кривизны. Дано определение перенормируемого скаляра и доказано существование перенормируемых скаляров на любом многообразии конформной связности, где существует разбиение единицы. Доказано: 1) существование на многообразии конформной связности с нулевой матрицей кривизны конформной связности с положительной, отрицательной и знакопеременной скалярной кривизной; 2) существование на многообразии конформной связности глобальной калибровочно-инвариантной метрики; 3) на гиперповерхности конформного пространства индуцированная конформная связность не может быть с ненулевой скалярной кривизной.

В статье рассматривается метод поиска и анализа текстурных компонент по прямым полюсным фигурам, с учетом симметрии кубического кристалла и образца. Алгоритм основан на представлении плоскостей отражения полярным комплексом векторов. Поиск ориентации происходит путем перемещения оси полярного комплекса по единичной полусфере, с последующим вращением полярного комплекса относительно этой оси. Далее определяется положение стереографических проекций векторов полярного комплекса на дискретной прямой полюсной фигуре. Ориентация считается найденной, если проекции по крайней мере трех векторов полярного комплекса попадают в область с ненулевой интенсивностью. Для каждой ориентации вычисляется вектор Родрига. Кроме того, определяются углы Эйлера и индексы Миллера. Текстурные компоненты выделяются в интерактивном режиме путем кластеризации данных в пространстве Родрига. С помощью ковариационной матрицы определяются собственные значения и векторы, характеризующие пространственное рассеяние текстурных компонент. В работе исследуются полюсные фигуры алюминиевой фольги после различных текстурных преобразований. Найденные текстурные компоненты представлены в пространстве Родрига.

Для приведенной канонической системы интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости рассмотрены прямая и обратная задачи определения поля скоростей упругих волн и матрицы релаксации. Задачи заменены замкнутой системой интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода относительно преобразования Фурье по переменным $x_{1}$ и $x_{2}$ для решения прямой и обратной задачи. Далее к этой системе применяется метод сжимающих отображений в пространстве непрерывных функций с весовой нормой. В работе доказаны теоремы о глобальные существования и единственности решений задач.

В этой работе решается проблема расширения группы параллельных переносов трехмерного пространства до локально ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований того же пространства. Локальная ограниченная точная двойная транзитивность означает, что существует единственное преобразование, которое переводит произвольную пару несовпадающих точек из некоторой открытой окрестности почти в любую пару точек из той же окрестности. В данной статье поставленная задача решается для двух случаев, связанных с жордановыми формами матриц третьего порядка. С помощью этих матриц записываются системы линейных дифференциальных уравнений, решения которых приводят к базисным операторам шестимерного линейного пространства. Требуя замкнутость коммутаторов этих операторов, выделяем алгебры Ли. Проверяя также условие локальной ограниченной точно дважды транзитивности, мы получаем алгебры Ли локально ограниченно точно дважды транзитивных групп Ли преобразований трехмерного пространства с подгруппой параллельных переносов. В результате получены три алгебры Ли, две из которых представимы в виде полупрямой суммы коммутативного трехмерного идеала и трехмерной подалгебры Ли, а третья разлагается в полупрямую сумму коммутативного трехмерного идеала и подалгебры, изоморфной $sl(2,R)$.

Доказано, что общая кубическая форма над полем комплексных чисел преобразуется к виду без мономов от ровно двух переменных каждый посредством невырожденной линейной замены координат. Если коэффициенты при мономах от одной переменной равны единице, а остальные коэффициенты принадлежат достаточно маленькому полидиску около нуля, то преобразование может быть аппроксимировано с помощью итерационного алгоритма. При этих ограничениях тот же результат справедлив над полем вещественных чисел. Этот результат обобщает теорему Леви-Деспланка о матрицах со строгим диагональным преобладанием. Нами подробно рассмотрены свойства приводимых кубических форм. Так нами доказано существование приводимой вещественной кубической формы, которая не эквивалентна никакой форме со всеми мономами от ровно одной переменной и без мономов от ровно двух переменных каждый. Предложено достаточное условие существования особой точки на проективной кубической гиперповерхности. Обсуждается вычислительная сложность распознавания особых точек.

В пространстве $R^l$, $l\geq 2$, рассматриваются преобразования типа инволюции. Исследуются свойства матриц этих преобразований. Определена структура рассматриваемой матрицы и доказано, что матрица этих преобразований определяется элементами первой строки. Доказана также симметричность исследуемой матрицы. Кроме того, в явном виде найдены собственные векторы и собственные значения рассматриваемой матрицы. Найдена также обратная матрица и доказано, что обратная матрица имеет такую же структуру, как и основная матрица. В качестве приложений рассматриваемых преобразований введены и изучены свойства нелокального аналога оператора Лапласа. Для соответствующего нелокального уравнения Пуассона в единичном шаре исследованы вопросы разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана. Доказана теорема об однозначной разрешимости задачи Дирихле, построены явный вид функции Грина и интегральное представление решения, а также найден порядок гладкости решения задачи в классе Гёльдера. Найдены также необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Неймана, явный вид функции Грина и интегральное представление.

В статье для линейных автономных вполне регулярных дифференциально-алгебраических систем с многими соизмеримыми запаздываниями проведено исследование задачи оценки решения по результатам наблюдаемого выхода. Исследуемый класс вполне регулярных дифференциально-алгебраических систем с запаздыванием включает в себя классы линейных систем запаздывающего и нейтрального типов, кроме того, к вполне регулярным системам сводится анализ непрерывно-дискретных систем. Для линейных автономных вполне регулярных дифференциально-алгебраических систем с многими соизмеримыми запаздываниями определено свойство асимптотической наблюдаемости, характеризующееся тем, что все решения, порождающие один и тот же выходной сигнал, неразличимы в будущем. Сформулированы и доказаны условия асимптотической наблюдаемости, выраженные через параметры исходной системы. Для асимптотически наблюдаемых систем предложена процедура оценки решения, реализация которой состоит из следующих действий. Сначала, с использованием наблюдаемого выхода, в соответствие исходной системе ставится линейная автономная неоднородная асимптотически наблюдаемая система запаздывающего типа с неоднородной частью, зависящей он выхода. При этом решение новой системы однозначно определяет решение исходной системы. Затем строится преобразование, приводящее матрицы системы запаздывающего типа к определенному виду. После этого при помощи конечной цепочки наблюдателей осуществляется оценка решения. Результаты представленного исследования применимы к системам, которые не обладают свойством финальной наблюдаемости, что позволяет при моделировании соответствующих объектов реального мира существенно снизить требования к органам наблюдения.

Рассматривается линейное однородное автономное дескрипторное уравнение с дискретным временем $$B_0g(k+1)+\sum_{i=1}^mB_ig(k+1-i)=0,\quad k=m,m+1,\ldots,$$ c прямоугольными (в общем случае) матрицами $B_i.$ Такое уравнение возникает при исследовании задач управления системами со многими соизмеримыми запаздываниями в управлении: задачи 0-управляемости, задачи синтеза регулятора типа обратной связи, обеспечивающего успокоение решения исходной системы, задачи модальной управляемости (управляемости коэффициентов характеристического квазиполинома), задачи спектральной приводимости и задачи синтеза наблюдателей для двойственной системы наблюдения. Для изучаемого дескрипторного уравнения с дискретным временем на основе решения конечной цепочки однородных алгебраических систем построено описание подпространства начальных условий, для которых это уравнение разрешимо. Получено представление всех его решений в виде, позволяющем организовать вычислительный процесс для нахождения одного из решений этого уравнения. Изучены свойства этого уравнения, используемые в задачах синтеза регуляторов для непрерывных систем со многими соизмеримыми запаздываниями в управлении. Отличительной чертой представленного исследования изучаемого объекта является использование подхода, не требующего построения преобразований, приводящих матрицы исходного уравнения к различным каноническим формам.

Рассматривается начальная задача для линейной нестационарной управляемой системы дифференциально-разностных уравнений с тождественно вырожденной матрицей при производной искомой вектор-функции в главной части. Получены достаточные и необходимый и достаточный критерии полной управляемости такой системы  на некотором отрезке из области определения. Основой для анализа послужило преобразование главной части  к так называемой «эквивалентной форме», в которой разделены «дифференциальная» и «алгебраическая» составляющие.