Все выпуски

В работе рассматривается краевая задача для нелинейного эволюционного уравнения в частных производных, приведенная в перенормированном виде. Данная краевая задача возникает в механике роторных систем и описывает поперечные колебания вращающегося ротора постоянного сечения из вязкоупругого материала, концы которого шарнирно закреплены. Изучен вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия, найдено критическое значение скорости вращения ротора, при превышении которого возникают незатухающие колебания. Найдены точные решения изучаемой краевой задачи в виде одномодовых по пространственной переменной и периодической по времени функций. Выведены условия устойчивости таких решений, а также в ряде случаев дан анализ условий устойчивости. В работе показано отсутствие многомодовых периодических по времени решений. Проанализированы базовые, но важные с прикладной точки зрения частные случаи данной нелинейной краевой задачи. Все результаты анализа нелинейной краевой задачи носят аналитический характер. Их вывод опирается на качественную теорию бесконечномерных динамических систем.

Для приведенной канонической системы интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости рассмотрены прямая и обратная задачи определения поля скоростей упругих волн и матрицы релаксации. Задачи заменены замкнутой системой интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода относительно преобразования Фурье по переменным $x_{1}$ и $x_{2}$ для решения прямой и обратной задачи. Далее к этой системе применяется метод сжимающих отображений в пространстве непрерывных функций с весовой нормой. В работе доказаны теоремы о глобальные существования и единственности решений задач.

В настоящей статье рассматривается краевая задача для дифференциальных уравнений типа Ланжевена с дробной производной Капуто в банаховом пространстве. Предполагается, что нелинейная часть уравнения представляет из себя отображение, подчиняющееся условиям типа Каратеодори. Уравнения такого типа обобщают уравнения движения в различного рода средах, например вязкоупругих, или в средах, где сила сопротивления выражается с помощью дробной производной. Для разрешения поставленной задачи будет использоваться теория дробного математического анализа, свойства функции Миттаг-Леффлера, а также теория мер некомпактности и уплотняющих операторов. Идея решения состоит в следующем: исходная задача сводится к задаче о существовании неподвижных точек соответствующего разрешающего интегрального оператора в пространстве непрерывных функций. Для доказательства существования неподвижных точек разрешающего оператора используется теорема типа Б.Н. Садовского о неподвижной точке. Для этого мы показываем, что разрешающий интегральный оператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности в пространстве непрерывных функций и преобразует замкнутый шар в этом пространстве в себя.

Работа посвящена моделированию ползущего движения вязкоупругой жидкости со свободной поверхностью, реализующейся при входе полимерной жидкости в формующий канал и выходе из него.  Движение жидкости описывается  уравнениями сохранения массы, импульса и энергии, дополненное определяющим реологическим уравнением состояния среды Гиезекуса. На основе метода конечных элементов разработан устойчивый численный алгоритм решения задачи. Проведены численные исследования по определению формы выходной струи для различных режимов течения и формы насадки. Исследована картина распределения скоростей жидкости, давления, напряжений и температуры при увеличении степени нагрева стенки формующего канала. Получены численные результаты зависимости эффекта разбухания полимерной жидкости от параметров реологической модели и температурных факторов.

С помощью упрощенного метода возмущений исследуется влияние взаимодействия между пузырьками на распространение волн в однородном слабосжимаемом вязкоупругом пузырьковом потоке. С использованием подхода сохранения кинетической энергии выводится уравнение динамики пузырьков. Динамика пузырьков и уравнения смеси в сочетании с уравнением состояния газа позволяют исследовать явление распространения ударной волны в смеси. Выведено двумерное уравнение Кортевега-де Фриза-Бюргера в терминах профиля давления. Установлено, что при использовании рассматриваемых нами параметров взаимодействие между пузырьками не оказывает влияния.

Представлены математические модели процессов течения и деформирования материалов с эволюционизирующей структурой. Задачи охватывают широкий круг структурночувствительных объектов от порошковых систем до полимерных материалов и композитов на их основе. Указанные модели позволяют определять изменение деформационных, тепловых и структурных характеристик многообразных систем в процессе разнообразных режимов обработки отверждения, течения неньютоновской жидкости, твердофазной экструзии.