Все выпуски

Работа посвящена методу решения стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом. Задача фильтрации сформулирована в виде вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных функционалов. Для решения вариационного неравенства предлагается использовать итерационный метод расщепления.

Получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения с монотонными операторами.

Приводятся достаточные условия разрешимости нелинейных краевых задач для некоторых классов функционально-дифференциальных уравнений. Условия получены на основе редукции исходной задачи к уравнению с монотонным оператором.

Пусть n,m, ℓ, s ∈ N – заданные числа, П ⊂ Rⁿ – измеримое по Лебегу множество, X, Z – банаховы идеальные пространства измеримых на П функций. Рассматривается нелинейное операторное уравнение:

x = θ + AF[x], x ∈ X^ℓ, (1)

где A : Z^m → X^ℓ – линейный ограниченный оператор, F : X^ℓ → Z^m – некоторый оператор. Уравнение (1) является естественной формой описания широкого класса сосредоточенных и распределенных систем. Ранее В.П. Политюковым был предложен метод монотонизации для обоснования разрешимости уравнения вида (1) и получения поточечных оценок решения. Суть его состояла в том, что разрешимость уравнения (1) доказывалась (помимо прочих условий) для случая, когда I) оператор F допускал поправку вида G = λI до монотонного оператора F[x] = F[θ+x]+G[x] такую, что II) (I +AG)⁻¹A > 0 (λ > 0, I  тождественный оператор). Как видно из примеров, приведенных в данной статье, условия I) и II) могут противоречить друг другу, что сужает сферу применения метода. Основной результат статьи в том, что в случае оператора A, обладающего свойством вольтерровости, естественным для эволюционных уравнений, требование монотонизируемости I) можно заменить требованием оценки оператора F на некотором конусном отрезке сверху и снизу через линейный оператор G плюс фиксированный элемент. Доказывается, что для глобальной разрешимости начально-краевой задачи, связанной с полулинейным эволюционным уравнением, достаточно, чтобы аналогичная начально-краевая задача, связанная с линейным уравнением, полученным путем оценки правой части исходного полулинейного уравнения на некотором конусном отрезке, имела положительное решение. В качестве иллюстрации рассматривается применение указанных результатов к системе Гурса–Дарбу, задаче Коши для волнового уравнения и первой краевой задаче для уравнения диффузии.

Пусть $V$ — сепарабельное рефлексивное банахово пространство, непрерывно вложенное в гильбертово пространство $H$ и плотное в нем; $X=L_p(0,T;V)\cap L_{p_0}(0,T;H)$; $U$ — заданное множество управлений; $A\colon X\to X^*$ — заданный вольтерров оператор, радиально непрерывный, мотонный и коэрцитивный (вообще говоря, нелинейный). Для задачи Коши, связанной с управляемым эволюционным уравнением вида \[x^\prime+Ax=f[u](x),\quad x(0)=a\in H;\quad x\in W=\{ x\in X\colon x^\prime\in X^*\},\] где $u\in U$ — управление, $f[u]\colon \mathbf{C}(0,T;H)\to X^*$ — вольтерров оператор ($W\subset\mathbf{C}(0,T;H)$), доказана тотально (по множеству допустимых управлений) глобальная разрешимость при условии глобальной разрешимости некоторого функционально-интегрального неравенства в пространстве $\mathbb{R}$. Во многих частных случаях указанное неравенство может быть конкретизировано как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Фактически, развивается аналогичный результат, доказанный автором ранее для случая линейного оператора $A$ и $V=H=V^*$. Отдельно рассматриваются случаи компактного вложения пространств, усиления условия монотонности и совпадения тройки пространств $V=H=H^*$. В последних двух случаях доказывается также единственность решения. В первом случае применяется теорема Шаудера, в остальных — технология продолжения решения по времени (то есть продолжения вдоль вольтерровой цепочки). Приводятся конкретные примеры задания оператора $A$.

Пусть $X$ — гильбертово пространство, $U$ — банахово пространство, $G\colon X\to X$ — линейный оператор такой, что оператор $B_\lambda=\lambda I-G$ является максимальным монотонным при некотором (произвольно заданном) $\lambda\in\mathbb{R}$. Для задачи Коши, связанной с управляемым полулинейным эволюционным уравнением вида \[x^\prime(t)=Gx(t)+f\bigl( t,x(t),u(t)\bigr),\quad t\in[0;T];\quad x(0)=x_0\in X,\] где $u=u(t)\colon[0;T]\to U$ — управление, $x(t)$ — неизвестная функция со значениями в $X$, доказана тотально (по множеству допустимых управлений) глобальная разрешимость при условии глобальной разрешимости задачи Коши для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения в пространстве $\mathbb{R}$. Решение $x$ понимается в слабом смысле и ищется в пространстве $\mathbb{C}_w\bigl([0;T];X\bigr)$ слабо непрерывных функций. Фактически, обобщается аналогичный результат, доказанный автором ранее для случая ограниченного оператора $G$. Суть указанного обобщения заключается в том, что постулируемые свойства оператора $B_\lambda$ позволяют построить для него аппроксимации Иосиды линейными ограниченными операторами, распространив необходимые нам оценки с «ограниченного» на «неограниченный» случай. В качестве примеров рассматриваются начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.

Приводятся достаточные условия существования положительных решений для некоторых классов дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Условия получены на основе редукции задачи Коши для данного дифференциального уравнения к уравнению с монотонным оператором.