Все выпуски

Исследуется воздействие аддитивных и параметрических шумов на аттракторы одномерной системы, задаваемой стохастическим дифференциальным уравнением Ито. Показано, что в отличие от аддитивных, параметрические возмущения приводят к сдвигу экстремумов функции плотности распределения. Для величины такого сдвига получено разложение по малому параметру интенсивности шума. Показано, что воздействие параметрического шума может изменить не только расположение, но и количество экстремумов плотности распределения. Подробный анализ соответствующих индуцированных шумами явлений проведен для трех динамических моделей. Сравнение погрешности приближений разного порядка для оценки сдвига экстремумов функции плотности представлено на примере линейной модели. Два сценария перехода между унимодальной и бимодальной формами стохастического аттрактора исследованы для систем с разными типами кубической нелинейности.

Рассмотрена математическая модель конкуренции в условиях биологической инвазии, записываемая в виде системы нелинейных уравнений параболического типа. Изучается конкуренция двух близкородственных видов — резидента и инвайдера. Динамика популяций на неоднородном ареале определяется локальным взаимодействием и диффузионным распространением. Для популяции инвайдера учитывается межвидовой таксис и направленная миграция, вызванная неоднородностью жизненных условий. В вычислительных экспериментах определены наборы миграционных параметров, отвечающих различным инвазивным сценариям. Дан анализ влияния начальных распределений на конкурентное исключение и сосуществование видов.

Статья посвящена исследованию эффективности применения технологии параллельных вычислений на многопроцессорных системах с общей памятью для задач приближенного расчета множеств достижимости нелинейных управляемых систем в конечномерном евклидовом пространстве. В рамках исследования предложен параллельный алгоритм приближенного построения множеств достижимости, основанный на пошаговой вычислительной схеме с использованием узлов «кубических» сеток для аппроксимации множеств. Предложенный алгоритм предназначен для проведения расчетов на ЭВМ архитектуры SMP и решает вопросы разделения задачи на отдельные подзадачи, синхронизации работы параллельных частей алгоритма и равномерного распределения нагрузки между процессорами. Численное моделирование примеров на ЭВМ с двумя 4-ядерными процессорами с использованием предложенного в статье параллельного алгоритма показало высокую эффективность применения технологии параллельных вычислений для расчета множеств достижимости сеточными методами.

В настоящей работе проведено исследование модели деформаций системы из $n$ стилтьесовских струн, расположенных вдоль геометрического графа-звезды, с нелинейным условием в узле. Соответствующая граничная задача имеет вид $$ \left\{\begin{array}{lll} -\left(p_iu_i^\prime\right)(x)+\displaystyle{\int_{0}^{x}}u_i\,dQ_i=F_i(x)-F_i(+0)-(p_iu_i')(+0),\quad i=1,2, \ldots, n,\\ \sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0),\\ u_1(0)=u_2(0)=\ldots=u_n(0)=u(0),\\ (p_iu_i')(l_i-0)+u_i(l_i)\Delta Q_i(l_i)=\Delta F_i(l_i),\quad i=1,2,\ldots, n. \end{array} \right. $$ Здесь функции $u_i(x)$ определяют деформации каждой из струн; $F_i(x)$ описывают распределение внешней нагрузки; $p_i(x)$ характеризуют упругость струн; $Q_i(x)$ описывают упругую реакцию внешней среды. Скачок $\Delta F_i(l_i)$ равняется сосредоточенной в точке $l_i$ внешней силе; скачок $\Delta Q_i(l_i)$ совпадает с жесткостью упругой опоры (пружины), прикрепленной к точке $l_i$. Условие $\sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0)$ возникает за счет наличия в узле ограничителя, представленного отрезком $[-m,m]$, на перемещение струн под воздействием внешней нагрузки, то есть предполагается, что $|u(0)|\leq m$. Здесь через $N_{[-m,m]}u(0)$ обозначен нормальный конус к $[-m,m]$ в точке $u(0)$. В работе проведен вариационный вывод модели; доказаны теоремы существования и единственности решения; проанализированы критические нагрузки, при которых происходит соприкосновение струн с ограничителем; приведена явная формула представления решения.

Изучается многомерный случай нелинейной системы реакции-диффузии, моделируемый системой двух уравнений параболического типа со степенными нелинейностями. Такого рода системы можно применять для моделирования процесса распространения в пространстве взаимодействующих распределенных формаций роботов двух типов. Такие уравнения описывают также процессы нелинейной диффузии в реагирующих двухкомпонентных сплошных средах. Предложен оригинальный вариант метода редукции, сводящий построение зависимости точного решения от пространственных переменных к решению уравнения Гельмгольца, а зависимости от времени — к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Построен ряд примеров многопараметрических семейств точных решений, задаваемых элементарными функциями.

Говорят, что в математической модели нелинейной распределенной автоколебательной системы наблюдается феномен буферности, если подходящим выбором параметров этой системы можно обеспечить существование конечного заранее заданного числа различных устойчивых циклов. В статье исследованы некоторые математические модели естествознания, демонстрирующие феномен буферности.

Пусть n,m, ℓ, s ∈ N – заданные числа, П ⊂ Rⁿ – измеримое по Лебегу множество, X, Z – банаховы идеальные пространства измеримых на П функций. Рассматривается нелинейное операторное уравнение:

x = θ + AF[x], x ∈ X^ℓ, (1)

где A : Z^m → X^ℓ – линейный ограниченный оператор, F : X^ℓ → Z^m – некоторый оператор. Уравнение (1) является естественной формой описания широкого класса сосредоточенных и распределенных систем. Ранее В.П. Политюковым был предложен метод монотонизации для обоснования разрешимости уравнения вида (1) и получения поточечных оценок решения. Суть его состояла в том, что разрешимость уравнения (1) доказывалась (помимо прочих условий) для случая, когда I) оператор F допускал поправку вида G = λI до монотонного оператора F[x] = F[θ+x]+G[x] такую, что II) (I +AG)⁻¹A > 0 (λ > 0, I  тождественный оператор). Как видно из примеров, приведенных в данной статье, условия I) и II) могут противоречить друг другу, что сужает сферу применения метода. Основной результат статьи в том, что в случае оператора A, обладающего свойством вольтерровости, естественным для эволюционных уравнений, требование монотонизируемости I) можно заменить требованием оценки оператора F на некотором конусном отрезке сверху и снизу через линейный оператор G плюс фиксированный элемент. Доказывается, что для глобальной разрешимости начально-краевой задачи, связанной с полулинейным эволюционным уравнением, достаточно, чтобы аналогичная начально-краевая задача, связанная с линейным уравнением, полученным путем оценки правой части исходного полулинейного уравнения на некотором конусном отрезке, имела положительное решение. В качестве иллюстрации рассматривается применение указанных результатов к системе Гурса–Дарбу, задаче Коши для волнового уравнения и первой краевой задаче для уравнения диффузии.

Доказываются достаточные условия поточечной управляемости по нелинейному функционалу для нелинейных распределенных систем, допускающих представление в виде вольтеррова функционально-операторного уравнения в лебеговом пространстве, на заданном множестве D конечномерных аппроксимаций управления. Определяется множество глобальной разрешимости Ω как множество всех управлений из D, для каждого из которых уравнение имеет единственное глобальное решение. В качестве вспомогательного результата, представляющего самостоятельный интерес, доказывается, что при сделанных предположениях выполняется равенство Ω = D. Сведение управляемых распределенных систем к изучаемому функционально-операторному уравнению иллюстрируется на двух примерах: первой краевой задачи для параболического уравнения второго порядка и смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка; и то, и другое уравнение достаточно общего вида.

В рамках методов и уравнений механики многофазных сред построена математическая модель образования газового гидрата при закачке метана в пласт конечной протяженности, насыщенный метаном и льдом. Изучаемая проблема сведена к проблеме нахождения двух подвижных границ фазовых переходов. На основе метода ловли фронта в узел пространственной сетки получены численные решения задачи. Найдены распределения по пространственной координате температуры, давления и гидратонасыщенности, а также приведена эволюция во времени координат границ фазовых переходов. Анализ результатов вычислительных экспериментов показал, что образование газогидрата метана может происходить как на фронтальной границе, так и в протяженной зоне. Установлено, что часть газогидрата, образовавшегося в протяженной области, может в дальнейшем разлагаться на газ и воду. В этом случае протяженная область гидратообразования будет вырождаться во фронтальную поверхность.