Все выпуски

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

В статье изучается существование положительных решений на отрезке $[0,1]$ двухточечной краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения третьего порядка с интегральным граничным условием на одном из концов отрезка. С помощью теоремы Го–Красносельского о неподвижной точке, с использованием некоторых свойств функции Грина соответствующего дифференциального оператора, получены достаточные условия существования по меньшей мере одного положительного решения рассматриваемой задачи. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

В работе предложено обобщение теоремы Надлера о неподвижных точках для многозначных отображений действующих в метрических пространствах. Полученный результат позволяет изучать существование неподвижных точек у многозначных отображений, которые не обязательно являются сжимающими, и даже непрерывными, относительно метрики Хаусдорфа, и образами которых могут быть произвольные множества соответствующего метрического пространства. Упомянутый результат можно использовать для исследования дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений с разрывами, а также включений, правые части которых порождены многозначными отображениями с произвольными образами. Во второй части работы, в качестве приложения, получены условия существования и продолжаемости решений задачи Коши для дифференциального включения с некомпактной правой частью в пространстве Rⁿ.

Хорошо известно, что преобразование ренормгруппы $\mathcal{R}$ имеет единственную неподвижную точку $f_ {cr}$ в пространстве критических $C^{3}$-гомеоморфизмов окружности с одной кубической критической точкой $x_{cr}$ и числом вращения равным золотому сечению $\overline{\rho}: =\frac{\sqrt{5} -1}{2}.$ Обозначим через $Cr(\overline{\rho})$ множество всех критических отображений окружности $C^ {1}$-сопряженных к $f_{cr}.$ Пусть $f\in Cr(\overline{\rho})$ и $\mu:=\mu_{f}$ --- единственная вероятностная инвариантная мера для $f.$ Зафиксируем $\theta \in (0,1).$ Для каждого $n\geq 1$ определим $c_{n}:=c_{n}(\theta)$ такое, что $\mu([x_{cr}, c_{n}]) = \theta\cdot\mu([x_{cr}, f^{q_{n}} (x_{cr})]),$ где $q_{n}$ --- время первого возврата линейного вращения $f_{\overline{\rho}}.$ Мы исследуем закон сходимости перемасштабированного точечного процесса времени попадания. Мы показываем, что предельное распределение сингулярно относительно меры Лебега.

В данной работе изучаются прямая начально-краевая задача и обратная задача определения коэффициента одномерного уравнения в частных производных со многими дробными производными Римана–Лиувилля. Исследована однозначная разрешимость прямой задачи и получены априорные оценки ее решения в весовых пространствах, которые будут использованы при изучении обратной задачи. Далее обратная задача эквивалентно сводится к нелинейному интегральному уравнению. Для доказательства однозначной разрешимости этого уравнения используется принцип неподвижной точки.

Рассматривается структурированная популяция, особи которой разделены на возрастные или типические группы, заданная нормальной автономной системой разностных уравнений. Для данной популяции исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на конечном или бесконечном промежутках времени. Для популяции, эксплуатируемой на конечном промежутке, описана стратегия промысла, при которой достигается наибольшее значение общей стоимости изымаемого ресурса. Если же добыча ресурса происходит на неограниченном промежутке, то определяется средняя временная выгода и вычисляется ее значение при стационарном режиме эксплуатации; рассматриваются случаи, когда система имеет асимптотически устойчивую неподвижную точку или устойчивый цикл. Также описана стратегия промысла, которая является оптимальной среди других способов эксплуатации; показано, что при определенных условиях она является стационарной или отличается от стационарной только значением управления в начальный момент времени. Результаты работы проиллюстрированы на примере двухвозрастной эксплуатируемой популяции, в которой промысловому изъятию подвержены особи или младшей, или обеих возрастных групп.

В этой статье мы предлагаем новый метод численной аппроксимации для решения единственного решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра. Нас интересует особая форма этого уравнения, в которой производная искомого решения появляется под знаком интеграла нелинейным образом. Наше видение основано на двух разных подходах: мы используем метод Нистрёма для преобразования интеграла в конечную сумму, используя формулу численного интегрирования, затем мы используем метод численной обратной разностной производной для приближения к производной нашего решения. Такое сопоставление двух разных методов, первого результата численной обработки интегральных уравнений и второго результата численной обработки дифференциальных уравнений, дает новую нелинейную систему для приближения к решению нашего уравнения. Мы показываем, что система имеет единственное решение и что это численное решение идеально сходится к нашему решению. Раздел посвящен численным тестам, в которых мы показываем эффективность нашего нового видения по сравнению с двумя методами, основанными только на численном интегрировании.

Рассматриваются C^r-гладкие (r≥1) диффеоморфизмы многомерного пространства в себя с гиперболической неподвижной точкой и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Из работ Ш. Ньюхауса, Л.П. Шильникова, Б.Ф. Иванова и других авторов следует, что при определенном способе касания устойчивого и неустойчивого многообразий окрестность гомоклинической точки может содержать счетное множество устойчивых периодических точек, но по крайней мере один из характеристических показателей у таких точек стремится к нулю с ростом периода. В предлагаемой работе показано, что при определенных условиях, наложенных на характер касания устойчивого и неустойчивого многообразий, в окрестности нетрансверсальной гомоклинической точки лежит бесконечное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля.

Рассмотрено движение кругового цилиндра в идеальной жидкости в поле неподвижного источника. Показано, что при постоянной интенсивности источника система обладает интегралом момента и интегралом энергии. Указаны условия, при которых уравнения движения, редуцированные на уровень интеграла момента, допускают неустойчивую неподвижную точку. Данная неподвижная точка соответствует круговому движению цилиндра вокруг источника. Построена обратная связь, обеспечивающая стабилизацию указанной неподвижной точки за счет изменения интенсивности источника.

В настоящей статье рассматривается краевая задача для дифференциальных уравнений типа Ланжевена с дробной производной Капуто в банаховом пространстве. Предполагается, что нелинейная часть уравнения представляет из себя отображение, подчиняющееся условиям типа Каратеодори. Уравнения такого типа обобщают уравнения движения в различного рода средах, например вязкоупругих, или в средах, где сила сопротивления выражается с помощью дробной производной. Для разрешения поставленной задачи будет использоваться теория дробного математического анализа, свойства функции Миттаг-Леффлера, а также теория мер некомпактности и уплотняющих операторов. Идея решения состоит в следующем: исходная задача сводится к задаче о существовании неподвижных точек соответствующего разрешающего интегрального оператора в пространстве непрерывных функций. Для доказательства существования неподвижных точек разрешающего оператора используется теорема типа Б.Н. Садовского о неподвижной точке. Для этого мы показываем, что разрешающий интегральный оператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности в пространстве непрерывных функций и преобразует замкнутый шар в этом пространстве в себя.