Все выпуски

В работе предложено обобщение теоремы Надлера о неподвижных точках для многозначных отображений действующих в метрических пространствах. Полученный результат позволяет изучать существование неподвижных точек у многозначных отображений, которые не обязательно являются сжимающими, и даже непрерывными, относительно метрики Хаусдорфа, и образами которых могут быть произвольные множества соответствующего метрического пространства. Упомянутый результат можно использовать для исследования дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений с разрывами, а также включений, правые части которых порождены многозначными отображениями с произвольными образами. Во второй части работы, в качестве приложения, получены условия существования и продолжаемости решений задачи Коши для дифференциального включения с некомпактной правой частью в пространстве Rⁿ.

Хорошо известно, что преобразование ренормгруппы $\mathcal{R}$ имеет единственную неподвижную точку $f_ {cr}$ в пространстве критических $C^{3}$-гомеоморфизмов окружности с одной кубической критической точкой $x_{cr}$ и числом вращения равным золотому сечению $\overline{\rho}: =\frac{\sqrt{5} -1}{2}.$ Обозначим через $Cr(\overline{\rho})$ множество всех критических отображений окружности $C^ {1}$-сопряженных к $f_{cr}.$ Пусть $f\in Cr(\overline{\rho})$ и $\mu:=\mu_{f}$ --- единственная вероятностная инвариантная мера для $f.$ Зафиксируем $\theta \in (0,1).$ Для каждого $n\geq 1$ определим $c_{n}:=c_{n}(\theta)$ такое, что $\mu([x_{cr}, c_{n}]) = \theta\cdot\mu([x_{cr}, f^{q_{n}} (x_{cr})]),$ где $q_{n}$ --- время первого возврата линейного вращения $f_{\overline{\rho}}.$ Мы исследуем закон сходимости перемасштабированного точечного процесса времени попадания. Мы показываем, что предельное распределение сингулярно относительно меры Лебега.

В настоящей статье рассматривается краевая задача для дифференциальных уравнений типа Ланжевена с дробной производной Капуто в банаховом пространстве. Предполагается, что нелинейная часть уравнения представляет из себя отображение, подчиняющееся условиям типа Каратеодори. Уравнения такого типа обобщают уравнения движения в различного рода средах, например вязкоупругих, или в средах, где сила сопротивления выражается с помощью дробной производной. Для разрешения поставленной задачи будет использоваться теория дробного математического анализа, свойства функции Миттаг-Леффлера, а также теория мер некомпактности и уплотняющих операторов. Идея решения состоит в следующем: исходная задача сводится к задаче о существовании неподвижных точек соответствующего разрешающего интегрального оператора в пространстве непрерывных функций. Для доказательства существования неподвижных точек разрешающего оператора используется теорема типа Б.Н. Садовского о неподвижной точке. Для этого мы показываем, что разрешающий интегральный оператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности в пространстве непрерывных функций и преобразует замкнутый шар в этом пространстве в себя.

Рассматриваются ударные движения плоских твердых дисков над неподвижной горизонтальной плоскостью в однородном поле тяжести. Плоскость является абсолютно гладкой, соударения с плоскостью - абсолютно упругими. Диски движутся в вертикальной плоскости и вращаются вокруг горизонтальной оси, при этом они могут отрываться от плоскости с последующими ударами и прыжками. Приведены двумерные отображения таких движений дисков на фазовой плоскости при различных энергиях. Также определены стационарные точки и проведен полный анализ их линейной устойчивости. Показано, что в плоскости параметров имеется множество зон устойчивости и неустойчивости в первом приближении. Получены явные аналитические условия устойчивости и неустойчивости через параметры задачи.

Под термином «размыкание предиката» понимается сведение задачи поиска и изучения свойств множества истинности заданного предиката к задаче поиска и изучения свойств неподвижных точек некоторого отображения. Размыкание предиката дает дополнительные возможность анализа его множества истинности, а также позволяет строить элементы этого множества с теми или иными свойствами. Известны примеры размыкания нетривиальных предикатов, таких как предикат «быть стабильным (слабо инвариантным) множеством», предикат «быть неупреждающим селектором», предикат «быть седловой точкой», предикат «быть равновесием Нэша». В упомянутых случаях вопрос об априорной оценке возможности размыкания того или иного интересующего нас предиката и о построении соответствующего размыкающего отображения оставался за рамками рассмотрения: размыкающие отображения предоставлялись как готовые объекты. В предлагаемой заметке мы постараемся отчасти закрыть этот пробел: приводятся формальное определение операции размыкания предиката, способы построения и исчисления размыкающих отображений и их основные свойства. Описываемый подход примен\'им во всех упомянутых выше положительных примерах. В качестве иллюстрации проведено следующее этому способу построение размыкающего отображения для предиката «быть нэшевским равновесием».

Рассматриваются периодические по времени возмущения асимметричного уравнения маятникового типа, близкого к интегрируемому стандартному уравнению математического маятника. Для автономного уравнения решается проблема предельных циклов, которая сводится к исследованию порождающих функций Пуанкаре-Понтрягина. Строится разбиение плоскости параметров на области с разным поведением фазовых кривых. Даются основные фазовые портреты для каждой области полученного разбиения. Для неавтономного уравнения изучается вопрос о структуре резонансных зон, к которому приводит решение задачи о синхронизации колебаний. Вычисляются усредненные уравнения маятникового типа, описывающие поведение решений исходного уравнения в индивидуальных резонансных зонах, и проводится их анализ. Устанавливается глобальное поведение решений в ячейках, не содержащих малых окрестностей невозмущенных сепаратрис. С помощью аналитического метода Мельникова и численного моделирования изучаются основные бифуркации неавтономного уравнения, связанные с возникновением негрубых гомоклинических кривых. На плоскости основных параметров строится бифуркационная диаграмма для отображения Пуанкаре, порожденного исходным уравнением, описывающая различные типы гомоклинических касаний сепаратрис седловой неподвижной точки. Обнаруживаются гомоклинические зоны (те области параметров, для которых существуют гомоклинические траектории к седловой неподвижной точки) с негладкими бифуркационными границами.

В работе разрабатывается метод, именуемый «размыкание предиката», сводящий задачу поиска множества истинности предиката к задаче поиска множества неподвижных точек некоторого (вообще говоря, многозначного) отображения. Предлагаемая техника дает дополнительные возможности анализа задач и построения решений путем систематического привлечения результатов теории неподвижных точек. Даны формальное определение операции размыкания предиката, способы построения и исчисления размыкающих отображений и их основные свойства. В случае когда область определения предиката частично упорядочена, указаны способы построения размыкающих функций, обладающих свойством сужаемости. Это позволило получить представления интересующих элементов решения в виде итерационных пределов. Предлагаемый подход в силу абстрактности имеет широкую сферу применения. Вместе с тем эффективность полученного решения зависит от специфики рассматриваемой задачи и выбранного варианта реализации метода. В качестве иллюстрации в работе рассмотрена процедура построения размыкающего отображения для предиката «быть неупреждающим селектором». На основе этого отображения получено выражение для наибольшего неупреждающего селектора заданной мультифункции.