Все выпуски

Рассматриваются свойства пространств правильных функций, то есть функций, определенных на открытом (конечном, полубесконечном, бесконечном) промежутке, имеющих в каждой точке конечные односторонние пределы, а также плотные множества в этих пространствах. Задача Коши для скалярного линейного дифференциального уравнения с коэффициентами-производными правильных функций «погружается» в пространство обобщенных функций Коломбо. Для коэффициентов-производных ступенчатых функций в явном виде находится решение R(φ_μ,t) задачи Коши в представителях, предел которого при μ→+0 объявляется решением исходной задачи. Так появляется оператор T, который ставит в соответствие исходной задаче ее решение в виде правильной функции, определенный сначала лишь на плотном множестве. С помощью известной топологической теоремы о продолжении по непрерывности T продолжается до оператора T, определенного на всем пространстве правильных функций. Для неоднородной задачи Коши предложено явное представление решения. Приведен ряд иллюстрирующих примеров.

В статье исследуются прямая и обратная задачи для уравнений субдиффузии с участием дробной производной в смысле Хильфера. В качестве эллиптической части уравнения взят произвольный положительный самосопряженный оператор $A$. В частности, в качестве оператора $A$ можно взять оператор Лапласа с условием Дирихле. Сначала доказано существование и единственность решения прямой задачи. Затем с помощью представления решения прямой задачи доказывается существование и единственность обратной задачи нахождения правой части уравнения, зависящей только от пространственной переменной.

В работе вводится и исследуется подкласс $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$ однолистных функций с отрицательными коэффициентами, определяемый новым линейным оператором $J^\lambda$ в открытом единичном круге $\mathcal{U}=\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$. Основной задачей является изучение следующих свойств и характеристик: оценки коэффициентов, теоремы искажения, теоремы о замыкании, окрестность функции, радиусы звездообразности, выпуклости и почти выпуклости функций, принадлежащих классу $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$.

Рассматриваются вопросы разрешимости краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений. Предлагаются утверждения, позволяющие получать условия существования единственного решения, неотрицательности функции Грина и фундаментального решения однородного уравнения. Для применения этих утверждений требуется задать «эталонную» краевую задачу, обладающую соответствующими свойствами, и определить некоторый оператор по приведенному правилу через операторы, порожденные исследуемой и «эталонной» задачами. Если спектральный радиус этого оператора меньше 1, то рассматриваемая краевая задача однозначно разрешима. Аналогично: для получения условий неотрицательности функции Грина и фундаментального решения требуется определить по приведенному в работе правилу специальный оператор и проверить его положительность. Рассмотрен пример применения полученных утверждений к конкретной краевой задаче с интегральным краевым условием для уравнения, содержащего отклонения в аргументе неизвестной функции и ее производной.

Работа посвящена построению приближенных решений краевых задач в прямоугольнике для нагруженного модифицированного уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя, выступающих в качестве математических моделей движения влаги и солей в почвах с фрактальной организацией. Построены разностные схемы для дифференциальных задач. Методом энергетических неравенств выведены априорные оценки решений рассматриваемых задач в дифференциальной и разностной трактовках. Из полученных априорных оценок следуют единственность, устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации. Построен алгоритм численного решения разностных схем, полученных при аппроксимации краевых задач для нагруженного модифицированного уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя. Проведены численные эксперименты, иллюстрирующие полученные в работе теоретические выкладки.

Сформулированы теоремы о существовании решений, оценках решений и корректной разрешимости уравнений с накрывающими отображениями в произведении метрических пространств. Рассмотрены условия накрывания оператора Немыцкого в функциональных пространствах. Утверждения о накрывающих отображениях применяются к исследованию управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, не разрешенными относительно производной искомой функции. Получены условия существования решений и их оценки, а также исследован вопрос непрерывной зависимости решений от параметров управляемых систем дифференциальных уравнений со смешанными ограничениями на управление и дополнительным ограничением на производную решения.

В настоящей статье рассматривается краевая задача для дифференциальных уравнений типа Ланжевена с дробной производной Капуто в банаховом пространстве. Предполагается, что нелинейная часть уравнения представляет из себя отображение, подчиняющееся условиям типа Каратеодори. Уравнения такого типа обобщают уравнения движения в различного рода средах, например вязкоупругих, или в средах, где сила сопротивления выражается с помощью дробной производной. Для разрешения поставленной задачи будет использоваться теория дробного математического анализа, свойства функции Миттаг-Леффлера, а также теория мер некомпактности и уплотняющих операторов. Идея решения состоит в следующем: исходная задача сводится к задаче о существовании неподвижных точек соответствующего разрешающего интегрального оператора в пространстве непрерывных функций. Для доказательства существования неподвижных точек разрешающего оператора используется теорема типа Б.Н. Садовского о неподвижной точке. Для этого мы показываем, что разрешающий интегральный оператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности в пространстве непрерывных функций и преобразует замкнутый шар в этом пространстве в себя.

Пусть $U$ — множество допустимых управлений, $T>0$ и задана шкала банаховых пространств $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T]$, такая, что множество сужений функций из $W=W[0;T]$ на $[0;\tau]$ совпадает с $W[0;\tau]$; $F[.;u]\colon W\to W$ — управляемый вольтерров оператор, $u\in U$. Ранее для операторного уравнения $x=F[x;u]$, $x\in W$, автором была введена система сравнения в форме функционально-интегрального уравнения в пространстве $\mathbf{C}[0;T]$. Было установлено, что для сохранения (относительно малых вариаций правой части) глобальной разрешимости операторного уравнения достаточно сохранения глобальной разрешимости указанной системы сравнения, а также установлены соответствующие достаточные условия. В данной статье рассматриваются дальнейшие примеры приложения этой теории: нелинейное волновое уравнение, сильно нелинейное волновое уравнение, нелинейное уравнение теплопроводности, сильно нелинейное параболическое уравнение.

В данной статье для одного дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя в прямоугольной области сформулированы две нелокальные начально-граничные задачи. Исследована корректность одной из поставленных задач. При этом применением метода разделения переменных к изучаемой задаче получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка. Доказана самосопряженность последней задачи, откуда следует существование системы ее собственных функций, а также ортонормированность и полнота этой системы. Далее, построена функция Грина спектральной задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. С помощью этого интегрального уравнения и теоремы Мерсера исследована равномерная сходимость некоторых билинейных рядов, зависящих от найденных собственных функций. Установлен порядок коэффициентов Фурье. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Доказана равномерная сходимость этого ряда, а также рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Методом спектрального анализа доказана единственность решения задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

Конечно-разностные модели дифференциальных уравнений в частных производных, такие как уравнения Лапласа или Пуассона, приводят к конечной сети. Дискретизированное уравнение на неограниченном множестве на плоскости или в пространстве приводит к бесконечной сети. В бесконечной сети оператор Шрёдингера (возмущенный оператор Лапласа, $q$-оператор Лапласа) определяется для развития теории дискретного потенциала, которая имеет модель в уравнении Шрёдингера в евклидовых пространствах. Исследуется связь между $\Delta$-теорией оператора Лапласа и $\Delta_q$-теорией. В $\Delta_q$-теории уравнение Пуассона решается, если сеть является деревом, и в общем случае получается каноническое представление для неотрицательных $q$-супергармонических функций.