Все выпуски

В данной работе исследуется качение сферического волчка с осесимметричным распределением масс по гладкой горизонтальной плоскости, совершающей периодические вертикальные колебания. Для рассматриваемой системы получены уравнения движения и законы сохранения. Показано, что система допускает два положения равновесия, соответствующих равномерным вращениям волчка относительно вертикально расположенной оси симметрии. Положение равновесия устойчиво, когда центр масс расположен ниже геометрического центра и неустойчиво, если центр масс расположен выше него. Проведена редукция уравнений движения к системе с полутора степенями свободы. Рассматриваемая редуцированная система представлена в виде малого возмущения задачи о движении волчка Лагранжа. При помощи метода Мельникова показано, что устойчивая и неустойчивая ветви сепаратрисы трансверсально пересекаются между собой, что говорит о неинтегрируемости рассматриваемой задачи. Приведены результаты компьютерного моделирования динамики волчка вблизи неустойчивого положения равновесия.

Статья посвящена малой нутации осесимметричного гироскопа в поле сил тяжести. Получено разложение известного решения уравнения нутации как функции времени, по степеням амплитуды. При этом частотами комбинационного колебания третьего порядка являются как утроенная частота, так и частота, совпадающая с исходной. Найдена формула для амплитуды нутации как функции интегралов движения гироскопа. Также вычислена частота бесконечно малой нутации. Другой способ получения разложения заключается в использовании результатов общей теории свободных одномерных колебаний. Этот способ основывается на возможности представить нутацию гироскопа как движение материальной точки единичной массы в поле, которое кубично-квадратично зависит от координаты. В этом случае единственной частотой комбинационного колебания третьего порядка является только утроенная исходная частота. Таким образом, оба способа дают одинаковый результат лишь для колебаний не выше второго порядка. В третьем приближении существующая теория колебаний недостаточна.

Обсуждается вопрос о возбуждении параметрических колебаний защемленной одним концом консольной балки (цилиндрической трубки), внутренняя полость которой заполнена идеальной несжимаемой жидкостью. Решаются гидродинамическая задача о взаимодействии стенок балки и жидкости и задача о параметрических поперечных колебаниях консоли.