Все выпуски

В статье рассмотрена задача о движении в поле силы тяжести твердого тела, обладающего формой кругового цилиндра, взаимодействующего с точечным вихрем, в идеальной жидкости. В отличие от предыдущих работ в данном случае циркуляция жидкости вокруг цилиндра предполагается равной нулю. Уравнения движения системы представлены в гамильтоновой форме. Указаны первые интегралы системы - горизонтальная и вертикальная компоненты импульса, - последний из которых, очевидно, неавтономный. Используя автономный интеграл, проведена редукция системы на одну степень свободы в ранее не рассматриваемом случае нулевой циркуляции. Показано, что в отличие от случая циркуляционного обтекания в отсутствие точечных вихрей, в котором движение цилиндра будет происходить в ограниченной горизонтальной полосе, при наличии вихрей и циркуляции, равной нулю, вертикальная координата цилиндра неограниченно убывает. Дальнейшее внимание в работе сконцентрировано на численном исследовании динамики системы, которая при нулевой циркуляции обладает некомпактными траекториями. Построены различные виды функций рассеяния вихря на цилиндре. Вид этих функций свидетельствует о хаотическом характере рассеяния и, следовательно, об отсутствии дополнительного аналитического интеграла.

В работе рассмотрена задача о движении в поле силы тяжести твердого тела, обладающего формой кругового цилиндра, взаимодействующего с N точечными вихрями, в идеальной жидкости. В общем случае циркуляция жидкости вокруг цилиндра предполагается отличной от нуля. Уравнения движения системы представлены в гамильтоновой форме. Указаны первые интегралы системы - горизонтальная и вертикальная компоненты импульса, - последний из которых, очевидно, неавтономный. Основное внимание сконцентрировано на исследовании конфигурации, аналогичной задаче Фёппля: цилиндр движется в поле тяжести в сопровождении вихревой пары (N=2). В этом случае циркуляция вокруг цилиндра равна нулю, а уравнения движения рассматриваются на некотором инвариантном многообразии. Показано, что, в отличие от конфигурации Фёппля, в поле силы тяжести относительное равновесие вихрей невозможно. Рассмотрена ограниченная задача: цилиндр предполагается достаточно тяжелым, вследствие чего вихри не оказывают влияния на его падение. Как полная, так и ограниченная задача исследована численно, в результате отмечено качественное сходство поведения решений: в большинстве случаев взаимодействие вихревой пары и цилиндра носит характер рассеяния.

Статья посвящена малой нутации осесимметричного гироскопа в поле сил тяжести. Получено разложение известного решения уравнения нутации как функции времени, по степеням амплитуды. При этом частотами комбинационного колебания третьего порядка являются как утроенная частота, так и частота, совпадающая с исходной. Найдена формула для амплитуды нутации как функции интегралов движения гироскопа. Также вычислена частота бесконечно малой нутации. Другой способ получения разложения заключается в использовании результатов общей теории свободных одномерных колебаний. Этот способ основывается на возможности представить нутацию гироскопа как движение материальной точки единичной массы в поле, которое кубично-квадратично зависит от координаты. В этом случае единственной частотой комбинационного колебания третьего порядка является только утроенная исходная частота. Таким образом, оба способа дают одинаковый результат лишь для колебаний не выше второго порядка. В третьем приближении существующая теория колебаний недостаточна.

Рассмотрена задача о движении гиростата, имеющего неподвижную точку, с переменным гиростатическим моментом под действием силы тяжести. Предложен новый метод интегрирования уравнений движения системы, состоящей из тела-носителя и трех роторов, которые вращаются вокруг главных осей. Его можно отнести к методу вариации постоянной в функции для гиростатического момента, который линейно зависит от вектора вертикали. При постоянном множителе гиростатический момент удовлетворяет уравнению Пуассона, а вариация его находится из интеграла площадей. Выполнена редукция исходных уравнений к системе пятого порядка. Получены новые решения данных уравнений в случае сферического распределения масс гиростата и для прецессионных движений тела-носителя. Установлен явный вид гиростатического момента для случая трех инвариантных соотношений.

В работе рассматриваются две задачи неголономной механики: 1) движение без проскальзывания колесной пары (два диска, свободно укрепленных на оси) по наклонной плоскости в поле силы тяжести, и 2) движение плоской колесной модели типа скейтборда.

При движении тяжелой частицы в вязкой среде сила сопротивления, вообще говоря, зависит от числа Рейнольдса, следовательно, от модуля вектора скорости частицы относительно среды. Это приводит к нелинейному взаимодействию разных составляющих движения. Если оседающая в поле силы тяжести частица имеет и горизонтальную составляющую скорости, то эти две компоненты движения, влияя на число Рейнольдса, вносят вклад в коэффициент гидродинамического сопротивления и тем самым воздействуют друг на друга. Это может иметь значение, например, в приводном слое атмосферы при сильных ветрах, когда, вследствие упомянутого взаимодействия, время пребывания брызг в воздухе зависит, вообще говоря, и от их горизонтального движения. Для конкретного закона сопротивления исследована нелинейная модель взаимодействия двух составляющих движения. Расчеты показывают, что, хотя порядок величины скорости оседания частицы при учете этого взаимодействия не меняется, поправки к скорости могут быть заметными.