Все выпуски

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

В работе изучена следующая задача: для линейной автономной дифференциально-разностной системы нейтрального типа с запаздыванием в состоянии требуется обеспечить ее полное успокоение с помощью обратной связью. Для решения указанной задачи предложен линейный автономный динамический дифференциально-разностный регулятор типа обратной связи по состоянию, не выводящий замкнутую систему из исходного класса линейных автономных систем нейтрального типа. Достаточное условие существования такого регулятора совпадает с критерием полной управляемости. Кроме того, замкнутая система будет иметь конечный спектр, что существенно упрощает задачу вычисления текущего состояния в ходе технической реализации регулятора. Основная идея исследования заключается в выборе параметров регулятора так, чтобы замкнутая система стала точечно вырожденной в направлениях, отвечающих фазовым компонентам исходной (разомкнутой) системы. Для этого на начальном этапе исходная система обратной связью приводится к системе запаздывающего типа с одним входом. Далее для полученного объекта строится динамический регулятор, обеспечивающий вырождение соответствующих фазовых компонент.

Предложенная процедура построения управляющего воздействия базируется на алгебраических свойствах оператора сдвига и не предполагает вычисления корней характеристического квазиполинома исходной системы. Возможно ее использование для обеспечения замкнутой системе не только полного успокоения, но и экспоненциальной устойчивости. Однако в последнем случае возникает необходимость использовать динамические регуляторы с обратной связью по состоянию интегрального типа.

Рассматриваются вопросы, связанные с решением аддитивной задачи последовательного обхода множеств с ограничениями предшествования и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. В качестве базового метода используется широко понимаемое динамическое программирование (ДП), дополняемое в случае задач ощутимой размерности декомпозициями семейства заданий и преобразованием параметров исходной задачи. Возможные применения связаны, в частности, с задачей управления инструментом при фигурной листовой резке деталей на машинах с ЧПУ. В этой задаче важным обстоятельством является учет условий предшествования, имеющих, в частности, следующий смысл: в случае детали с отверстиями резка каждого из внутренних контуров (отвечающих отверстиям) должна предшествовать резке внешнего контура. Сам критерий качества в данной задаче, как правило, является аддитивным. Другой тип ограничений касается избежания термических деформаций деталей. При использовании подхода с применением штрафов за нарушение условий, связанных с эффективным отводом тепла при выполнении врезки, возникают функции стоимости, допускающие зависимость от списка заданий, выполненных на текущий момент времени. Заметим, что в другой прикладной задаче, а именно в задаче о демонтаже радиационно опасных объектов, возникают функции стоимости с зависимостью от списка заданий, не выполненных на данный момент (а, следовательно, касающихся недемонтированных объектов). В итоге мы приходим к очень общей задаче с ограничениями предшествования и функциями стоимости с зависимостью от списка заданий. Применяемая в случае ощутимой размерности декомпозиция с последующей реализацией ДП требует, с одной стороны, разработки методов кластеризации, а, с другой, построения адекватной конструкции распределения глобальных условий предшествования по кластерам. В теоретической части работы обсуждается случай двух кластеров, который позволяет охватить единой схемой целый ряд практически интересных задач диапазонного (в смысле размерности) типа. Указан алгоритм построения композиционного решения, включающий этап обучения кластеризации на основе жадного алгоритма. Данный «композиционный» алгоритм реализован на ПЭВМ; проведен вычислительный эксперимент.

Теория управления - активно развивающийся в настоящее время раздел современной математики. Класс задач, изучаемый в рамках этой теории, достаточно обширен и включает как вопросы, связанные с существованием решений, так и вопросы, связанные с эффективными способами построения управляющих воздействий. Один из подходов к решению задач управления при неполной информации был предложен в основополагающей статье Ю.С. Осипова, опубликованной в журнале «Успехи математических наук» в 2006 году. В дальнейшем этот подход, названный методом пакетов программ, получил развитие, в частности, в статьях, цитированных в настоящей работе. Указанный подход основан на подходящей модификации известного в теории позиционных дифференциальных игр метода неупреждающих стратегий (квазистратегий) для решения задач управления при неизвестном начальном состоянии. Как известно, квазистратегии, отражающие свойства вольтерровости программных реализаций управлений с обратной связью на соответствующие программные возмущения, ориентированы на исследование задач с известным начальным состоянием при наличии неизвестных динамических возмущений. В стандартных задачах управления с неполной информацией динамические возмущения, как правило, отсутствуют, а неполнота информации обусловлена дефицитом информации о начальном состоянии системы. Аналогом свойств неупреждаемости для задач с неизвестными начальными состояниями и стали пакеты программ. Следует отметить, что во всех предыдущих исследованиях, связанных с методом пакетов программ, рассматривались задачи наведения на одно-единственное целевое множество. В настоящей работе для линейной стационарной управляемой динамической системы рассмотрена задача гарантированного наведения на семейство целевых множеств в случае неполной информации о начальном состоянии. Установлен критерий разрешимости этой задачи, основанный на методе пакетов программ, и приведен иллюстрирующий пример.

Рассматривается абстрактная задача о достижимости при ограничениях асимптотического характера, решение в которой отождествляется с множеством притяжения в классе ультрафильтров пространства обычных решений. Исследуется нарост упомянутого множества по отношению к замыканию множества результатов, доставляемых точными решениями (данное понятие на идейном уровне соответствует схеме Дж. Варги, хотя и применяется в случае ограничений более общего характера). Для представления упомянутого (основного) множества притяжения привлекается соответствующий аналог последнего, реализуемый в пространстве обобщенных элементов. Для получаемого таким образом вспомогательного множества притяжения анализируется нарост и исследуется его связь с наростом основного множества притяжения. Получены условия отождествимости наростов основного и вспомогательного множеств притяжения. Общие положения детализируются для случая, когда обобщенные элементы определяются в виде ультрафильтров широко понимаемых измеримых пространств, где за реализацию наростов оказываются ответственными свободные ультрафильтры. Показано, что при наличии нароста множество допустимых обобщенных элементов не совпадает с замыканием какого-либо множества обычных решений (не допускает стандартной реализации).

Рассматривается абстрактная задача о достижимости с ограничениями асимптотического характера. Ограничения такого типа могут возникать при ослаблении стандартных (в теории управления) ограничений, таких как фазовые ограничения, краевые и промежуточные условия, которым должны удовлетворять траектории системы. Однако ограничения асимптотического характера могут возникать и изначально, характеризуя тенденции в части реализации желаемого поведения. Так, например, можно говорить о реализации достаточно мощных импульсов управления исчезающе малой длительности. В этом последнем случае трудно говорить об ослаблении каких-либо стандартных ограничений. Так или иначе, мы сталкиваемся с набором ужесточающихся требований, каждому из которых можно сопоставить некоторый аналог области достижимости в теории управления, а точнее образ подмножества пространства обычных решений (управлений) при действии заданного оператора. В работе исследуются вопросы структуры возникающего (как аналог области достижимости) множества притяжения. Схема исследования базируется на применении специального варианта расширения пространства решений, допускающего естественную аналогию с расширением Волмэна, используемого в общей топологии. В этой ситуации естественно полагать, что пространство обычных решений оснащено некоторой топологией (обычно в этом случае исследуется $T_1$-пространство). В этой связи обсуждаются вопросы, связанные с заменой множеств, формирующих ограничения асимптотического характера, замыканиями и внутренностями, а также (частично) вопросы, связанные с представлением внутренности множества допустимых обобщенных элементов, образующего вспомогательное множество притяжения.

Рассматривается линейная игровая задача управления на максимин с ограничениями асимптотического характера (ОАХ), которые естественно возникают в связи с реализацией «узких» управляющих импульсов. В содержательном отношении это соответствует импульсным режимам управления с полным расходованием топлива. Возникающая игровая задача отвечает использованию асимптотических режимов управления обоими игроками, что отражено в концепции расширения, реализуемой в классе конечно-аддитивных мер. Исходная содержательная задача управления для каждого из игроков рассматривается как вариант абстрактной постановки, связанной с достижимостью при ОАХ, для которой построена соответствующая обобщенная задача о достижимости и установлено представление множества притяжения (МП), играющее роль асимптотического аналога области достижимости в классической теории управления. Данная конкретизация реализуется для каждого из игроков, на основе чего получается обобщенный максимин, для которого затем указан вариант асимптотической реализации в классе обычных управлений. Получено «конечномерное» описание МП, позволяющее находить упомянутый максимин с применением численных методов. Рассмотрено решение модельного примера задачи об игровом взаимодействии двух материальных точек, включающее этап компьютерного моделирования.

Приводится вывод уравнений динамики упругих тел, подверженных большому движению в составе многокомпонентной механической системы и малым деформациям. При выводе используется метод конечных элементов (МКЭ) и метод Крейга–Бэмптона для редукции матриц МКЭ-модели тела. Никаких дополнительных приближений не вводится, тем самым получаются наиболее общие уравнения в рассматриваемой постановке. Проводится анализ трудностей, возникающих на практике при использовании выведенных общих уравнений движения, предлагаются пути их преодоления. Представляется вывод модифицированных уравнений с использованием приближения, более общего по сравнению с общепринятым в литературе. Приводится пример программной реализации выведенных уравнений движения упругих конструкций.

В работе исследуются различные механические системы с неголономными связями. В частности, рассмотрены вопросы существования тензорных инвариантов (законов сохранения) и их связь с поведением системы. Особое внимание уделено возможности представления уравнений движения в конформно-гамильтоновой форме, которая в данной работе используется, главным образом, для интегрирования систем.