Все выпуски

Статья посвящена исследованию эффективности применения технологии параллельных вычислений на многопроцессорных системах с общей памятью для задач приближенного расчета множеств достижимости нелинейных управляемых систем в конечномерном евклидовом пространстве. В рамках исследования предложен параллельный алгоритм приближенного построения множеств достижимости, основанный на пошаговой вычислительной схеме с использованием узлов «кубических» сеток для аппроксимации множеств. Предложенный алгоритм предназначен для проведения расчетов на ЭВМ архитектуры SMP и решает вопросы разделения задачи на отдельные подзадачи, синхронизации работы параллельных частей алгоритма и равномерного распределения нагрузки между процессорами. Численное моделирование примеров на ЭВМ с двумя 4-ядерными процессорами с использованием предложенного в статье параллельного алгоритма показало высокую эффективность применения технологии параллельных вычислений для расчета множеств достижимости сеточными методами.

Рассматривается уравнение в частных производных первого порядка с эффектом наследственности:

$$ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + a \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = f ( x, t, u(x,t), u_t(x,\cdot)),$$ $$u_t(x,\cdot) = \{u(x,t+s), -\tau\leqslant s <0\}.$$

Для такого уравнения, с позиций принципа разделения конечномерной и бесконечномерной составляющих состояния, строятся сеточные методы: аналог семейства схем бегущего счета, аналог схемы Кранка-Николсон, метод аппроксимации на середину квадрата. Для учета эффекта наследственности применяются одномерная и двойная кусочно-линейная интерполяции и экстраполяция продолжением. Доказывается, что рассмотренные методы имеют порядки локальной погрешности: соответственно $O(h+\Delta)$, $O(h+\Delta^2)$ и $O(h^2+\Delta^2)$, где $h$ - шаг дискретизации по пространственной переменной, $\Delta$ - шаг дискретизации по временной переменной. Исследуются свойства двойной кусочно-линейной интерполяции. Используя результаты общей теории разностных схем, установлены условия устойчивости предложенных методов. С помощью вложения в общую схему численных методов для функционально-дифференциальных уравнений получены теоремы о порядках сходимости сконструированных алгоритмов. Приведены тестовые примеры по сравнению погрешностей методов.

Рассмотрено волновое уравнение с двумя пространственными и одной временной независимыми переменными и эффектом наследственности вида $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) + f\big(x,y,t,u(x,y,t),u_t(x,y,\cdot)\big),\\u_t(x,y,\cdot)=\left\{u(x,y,t+\xi),-\tau \leqslant \xi\leqslant 0\right\}. $$На основе идеи разделения текущего состояния и функции-предыстории сконструировано семейство сеточных методов для численного решения этого уравнения. По текущему состоянию строится полный аналог известного для уравнения без запаздывания метода с факторизацией, а влияние предыстории учитывается с помощью интерполяционных конструкций. Исследован порядок локальной погрешности алгоритма. Получена теорема о сходимости и порядке сходимости методов с помощью вложения в общую разностную схему систем с последействием. Приводятся результаты расчетов тестового примера с переменным запаздыванием.

Для уравнения теплопроводности с эффектом запаздывания конструируются численные методы решения. Рассмотрены метод прямых и неявная сеточная схема с кусочно-постоянной интерполяцией. Приведена теорема о сходимости последнего метода.