Все выпуски

Обсуждаются вопросы построения допустимых управлений в одной задаче оптимального управления нелинейной динамической системой при наличии ограничений на ее текущее фазовое состояние. Рассматриваемая динамическая система описывает управляемое движение ракеты-носителя от точки старта до момента ее выхода на заданную околоземную эллиптическую орбиту. Задача заключается в построении программного управления, которое обеспечивает выведение ракетой-носителем на орбиту полезной нагрузки максимальной массы и выполнение дополнительных ограничений на текущее фазовое состояние системы. Дополнительные ограничения обусловлены необходимостью учитывать величины скоростного напора, углов атаки и скольжения при движении ракеты в плотных слоях атмосферы и осуществлять падение ее отделяемых частей в заданные районы на земной поверхности. Для ракет-носителей ряда классов такая задача равносильна нелинейной задаче быстродействия с фазовыми ограничениями. Предлагаются и численно исследуются два алгоритма построения в этой задаче допустимых управлений, обеспечивающих выполнение указанных дополнительных фазовых ограничений. Методологическую основу одного алгоритма составляет применение некоторого прогнозирующего управления, которое априори строится в задаче быстродействия без учета в ней дополнительных ограничений, а другого - использование специальных режимов управления. Приводятся результаты численного моделирования.

Рассматривается задача о назначении спектра показателей Ляпунова линейной управляемой системы с дискретным временем $$x(m+1)=A(m)x(m)+B(m)u(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\ u\in\mathbb R^{k}, \qquad (1)$$ посредством линейной по фазовым переменным обратной связи $u(m)=U(m)x(m)$ в малой окрестности спектра показателей свободной системы $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (2)$$ Дополнительно требуется, чтобы норма матрицы обратной связи $U(\cdot)$ удовлетворяла липшицевой оценке по отношению к требуемому смещению показателей. Это свойство называется пропорциональной локальной управляемостью полного спектра показателей Ляпунова замкнутой системы $$x(m+1)=\bigl(A(m)+B(m)U(m)\bigr)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (3)$$ Построен пример, показывающий, что найденные ранее достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (3) (равномерная полная управляемость системы (1) и устойчивость показателей Ляпунова свободной системы (2)) не являются необходимыми.

В статье рассматривается задача устойчивой реконструкции неизвестного входа системы по результатам неточных измерений ее решения. Суть задачи состоит в следующем. Имеется система, описываемая распределенным уравнением второго порядка, решение которой зависит от входа, меняющегося со временем. Как вход, так и решение заранее не известны. В дискретные моменты времени измеряется решение уравнения. Результаты измерения неточны. Требуется построить алгоритм приближенного восстановления входа, обладающий свойствами динамичности и устойчивости. Свойство динамичности означает, что текущие значения приближений входа вычисляются в реальном времени (он-лайн). Свойство устойчивости — что приближения являются достаточно точными, при хорошей точности измерений. Задача относится к классу обратных задач. Представленный в статье алгоритм основан на конструкциях теории устойчивого динамического обращения в комбинации с методами некорректных задач и позиционного управления.

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

Для билинейной управляемой системы с периодическими коэффициентами получены достаточные условия равномерной глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения. Доказательство основано на применении теоремы Красовского об асимптотической устойчивости в целом нулевого решения для периодических систем. Стабилизирующее управление построено по принципу обратной связи. Оно имеет вид квадратичной формы от фазовой переменной и является периодическим по времени.

Рассматривается линейная управляемая система с неполной обратной связью с дискретным временем

x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),   y(t)=C*(t)x(t),   u(t)=U(t)y(t),   t∈Z.

Исследуется задача управления асимптотическим поведением замкнутой системы

x(t+1)=(A(t)+B(t)U(t)C*(t))x(t), x∈Kⁿ.                (1)

Здесь K=C или K=R. Для такой системы вводится понятие согласованности. Это понятие является обобщением понятия полной управляемости на системы с неполной обратной связью. Исследовано свойство согласованности системы (1), получены новые необходимые условия и достаточные условия согласованности системы (1), в том числе в стационарном случае. Для стационарной системы вида (1) исследуется задача о глобальном управлении спектром собственных значений, которая заключается в приведении характеристического многочлена матрицы стационарной системы (1) с помощью стационарного управления U к произвольному наперед заданному полиному. Для системы (1) с постоянными коэффициентами специального вида, когда матрица A имеет форму Хессенберга, а в матрицах B и C все строки соответственно до p-й и после p-й (не включая p) равны нулю, свойство согласованности является достаточным условием глобальной управляемости спектра собственных значений. Ранее было доказано, что обратное утверждение верно для n<4 и неверно для n>5. В настоящей работе доказано, что обратное утверждение верно для n=4.

Рассматривается линейная управляемая система с линейной неполной обратной связью с дискретным временем $$x(t+1)=Ax(t)+Bu(t), \quad y(t)=C^*x(t), \quad u(t)=Uy(t),$$ $$t\in\mathbb{Z},\quad (x,u,y)\in\mathbb{K}^n\times\mathbb{K}^m\times\mathbb{K}^k.$$

Здесь $\mathbb K=\mathbb C$ или $\mathbb K=\mathbb R$. Для замкнутой системы $$x(t+1)=(A+BUC^*)x(t), \quad x\in\mathbb K^n, \qquad(1)$$

вводится понятие согласованности. Это понятие является обобщением понятия полной управляемости на системы с неполной обратной связью. Исследуется свойство согласованности системы $(1)$ в связи с задачей управления спектром собственных значений, которая заключается в приведении характеристического многочлена матрицы стационарной системы $(1)$ с помощью стационарного управления $U$ к произвольному наперед заданному полиному. Для системы $(1)$ специального вида, когда матрица $A$ имеет форму Хессенберга, а в матрицах $B$ и $C$ все строки соответственно до $p$-й и после $p$-й (не включая $p$) равны нулю, свойство согласованности является достаточным условием глобальной управляемости спектра собственных значений. В предыдущих работах было доказано, что обратное утверждение верно для $n<5$ и неверно для $n>5$. В настоящей работе открытый вопрос для $n=5$ разрешен. Доказано, что при $n=5$ для системы с коэффициентами специального вида свойство согласованности является необходимым условием глобальной управляемости спектра собственных значений. Доказательство производится перебором всевозможных допустимых значений размерностей $m,k,p$. Свойство согласованности эквивалентно свойству полной управляемости «большой системы» размерности $n^2$. Для доказательства строится большая система, строится матрица управляемости $K$ этой системы размерности $n^2\times n^2mk$. Доказывается, что матрица $K$ имеет ненулевой минор порядка $n^2=25$. Для вычисления определителей больших порядков используется система Maple 15.

Понятие равномерной полной управляемости линейной системы, введенное Р. Калманом, играет ключевую роль в задачах управления асимптотическими характеристиками линейных систем управления, замкнутых по принципу линейной обратной связи. Е.Л. Тонков установил необходимое и достаточное условие равномерной полной управляемости для систем с кусочно-непрерывными и ограниченными коэффициентами. Критерий Тонкова можно положить в основу определения равномерной полной управляемости. Если условия на коэффициенты системы ослабить, то определения Калмана и Тонкова перестают совпадать. Здесь установлены необходимые условия и достаточные условия равномерной полной управляемости по Калману и по Тонкову для систем с измеримыми, локально суммируемыми коэффициентами. Введено определение равномерной полной управляемости, которое обобщает определение Тонкова и совпадает с определением Калмана, если матрица $B(\cdot)$ ограничена. Доказаны некоторые известные результаты об управляемости линейных систем, в которых можно ослабить требования на коэффициенты. Доказано, что если линейная управляемая система $\dot x=A(t)x+B(t)u$, $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$, с измеримой ограниченной матрицей $B(\cdot)$ равномерно вполне управляема в смысле Калмана, то для любой измеримой и интегрально ограниченной $m\times n$-матричной функции $Q(\cdot)$ система $\dot x=(A(t)+B(t)Q(t))x+B(t)u$ равномерно вполне управляема по Калману.

Рассматривается управляемая система, заданная линейной стационарной системой дифференциальных уравнений с запаздыванием $$ \dot x(t)=Ax(t)+A_1x(t-h)+Bu(t),\quad y(t)=C^*x(t),\quad t>0. \qquad\qquad (1) $$ Управление в системе $(1)$ строится в виде линейной обратной связи по выходу $u(t)=Q_0 y(t)+Q_1 y(t-h)$. Исследуется задача назначения конечного спектра для замкнутой системы: требуется построить коэффициенты $Q_0$, $Q_1$ обратной связи таким образом, чтобы характеристический квазиполином замкнутой системы обращался в полином с произвольными наперед заданными коэффициентами. Получены условия на коэффициенты системы $(1)$, при которых найден критерий разрешимости данной задачи назначения конечного спектра. Полученные результаты распространяются на системы с несколькими запаздываниями. Получены следствия о стабилизации системы $(1)$, а также системы вида $(1)$ с несколькими запаздываниями, посредством линейной статической обратной связи по выходу с запаздыванием.

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцью-Нагумо. Предполагается, что пространственная переменная изменяется на отрезке, на концах которого заданы однородные краевые условия Неймана. Известно, что в данном случае в системе Рэлея с диффузией существует пространственно-однородный автоколебательный режим, совпадающий с предельным циклом классической системы Рэлея. В настоящей работе показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазовом пространстве. Это свойство объясняет, почему в результате численных экспериментов при некоторых значениях параметра различным начальным условиям соответствуют нулевое, периодическое по времени или стационарное решение. Асимптотика вторичных решений построена методом Ляпунова-Шмидта. Явно найдены первые члены разложения, проанализированы формулы для общего члена асимптотики. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. Эволюция вторичных режимов при увеличении значений надкритичности исследована численно. Установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы постепенно сменяются стационарными. Амплитуда стационарных решений растет по мере увеличения надкритичности, а профиль асимптотически стремится к профилю меандра.