Все выпуски

В современной физической литературе неоднократно возникала потребность в формулах, позволяющих в квантовой одномерной задаче рассеяния свести вычисление вероятности отражения (прохождения) для потенциала, состоящего из нескольких «барьеров», к вероятностям отражения и прохождения через эти «барьеры». В настоящей работе исследуется задача рассеяния для разностного оператора Шрёдингера с потенциалом, являющимся суммой N функций (описывающих «барьеры» или «слои») с попарно непересекающимися носителями. С помощью уравнения Липпмана-Швингера доказана теорема, позволяющая вычисление амплитуд отражения и прохождения для данного потенциала свести к вычислению амплитуд отражения и прохождения для слагаемых. Для N=2 получены простые явные формулы, осуществляющие такое сведение. Рассмотрены частные случаи четного первого барьера и двух одинаковых четных (после соответствующих сдвигов) барьеров. Разумеется, аналогичные результаты справедливы и для вероятностей отражения и прохождения. Получено простое уравнение для нахождения резонансов двухбарьерной структуры в терминах амплитуд для каждого из двух барьеров.

В статье также приведена иная схема доказательства полученных результатов, основанная на разложении в ряд T-оператора, позволяющая обосновать физические представления о рассеянии на многослойной структуре как о многократном рассеянии на отдельно взятых слоях. При доказательстве утверждений используется известный прием сведения уравнения Липпмана-Швингера к «модифицированному» уравнению в гильбертовом пространстве, что позволяет, в свою очередь, воспользоваться теорией Фредгольма. Конечно, все полученные результаты остаются справедливыми и для «непрерывного» оператора Шрёдингера, а выбор дискретного подхода обусловлен его растущей популярностью в квантовой теории твердого тела.

In modern physics literature, the need for formulas that permit, in a quantum one-dimensional problem, to reduce a calculation of the reflection (transmission) probability for the potential consisting of some “barriers” to the reflection and transmission probabilities over these “barriers” repeatedly occurred. In this paper, we study the scattering problem for the difference Schrodinger operator with the potential which is the sum of N functions (describing the “barriers” or “layers”) with pairwise disjoint supports. With the help of the Lippmann-Schwinger equation, we proved the theorem which reduces the calculation of the reflection and transmission amplitudes for this potential, to the calculation of the ones for these barriers. For N=2 simple explicit formulas which realized this reduction were obtained. The particular cases for the even first barrier and two identical even (after appropriate shifts) barriers were studied. Of course, the similar results hold for the reflection (transmission) probabilities. We obtained the simple equation for the double-barrier structure resonances in terms of the amplitudes of each of the two barriers.

In the paper, we also present the alternative scheme of the proof of the obtained results which are based on the series expansion of the T-operator. This approach substantiates the physical understanding of the scattering by a multilayer structure as multiple scattering on separate layers. To proof the theorems, the known method of reduction of the Lippmann-Schwinger equation to the “modified” equation in a Hilbert space is used. Of course, all the results remain valid for the “continuous” Schrodinger operator, and the choice of the discrete approach is due to its growing popularity in the quantum theory of solids.

В статье рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе с вершинами на двух пересекающихся прямых, возмущенный убывающим потенциалом. Данный оператор является гамильтонианом электрона вблизи структуры, образованной квантовой точкой и выходящими из нее четырьмя квантовыми проволоками в приближении сильной связи, широко используемом в настоящее время в физической литературе для изучения подобных наноструктур. Доказаны существование и единственность решения соответствующего уравнения Липпмана–Швингера, для решения получена асимптотическая формула. Изучена нестационарная картина рассеяния. Исследуется задача рассеяния для данного оператора в случае малого потенциала, а также в случае, когда малы как потенциал, так и скорость квантовой частицы. Получены асимптотические формулы для вероятностей распространения частицы во всех возможных направлениях.

The paper considers the discrete Schrödinger operator on a graph with vertices on two intersecting lines, which is perturbed by a decreasing potential. This operator is the Hamiltonian of an electron near a structure formed by a quantum dot and four outgoing quantum wires in the tight-binding approximation widely used in the physics literature for studying such nanostructures. We have proved the existence and uniqueness of the solution of the corresponding Lippmann-Schwinger equation and obtained the asymptotic formula for it. The non-stationary scattering picture has been studied. The scattering problem for the above operator in the case of a small potential, and also in the case of both a small potential and small velocity of a quantum particle, is investigated. Asymptotic formulas for the probabilities of the particle propagation in all possible directions have been obtained.

Топологический изолятор - особый тип материала, который внутри («в объеме») представляет собой изолятор, а на поверхности проводит электрический ток. Простейшим топологическим изолятором является конечная цепочка атомов в полиацетилене. Тематика топологических изоляторов в рамках физики твердого тела очень актуальна в последнее время. Большой интерес в физической литературе к топологическим изоляторам (а также похожим на них в смысле топологии сверхпроводящим системам) в значительной степени вызван наличием связи, «соответствием» между «объемом» и «границей». В данной статье рассматривается дискретная модель SSH (Su-Schrieffer-Heeger) для полиацетилена, описывающая электрон в одномерной цепочке атомов с двумя чередующимися амплитудами перехода на соседний атом. Найдены резольвента и спектр рассматриваемого оператора. Исследованы квазиуровни (собственные значения и резонансы) в случае малого потенциала. Кроме того, найдено решение уравнения Липпмана-Швингера и получены асимптотические формулы для вероятностей прохождения и отражения в случае малого возмущения.

Topological insulator is a special type of material that represents an insulator in the interior (“in bulk”) and conducts electricity on the surface. The simplest topological insulator is a finite chain of atoms in polyacetylene. In the last decade topological insulators are actively studied in the physics literature. A great interest to topological insulators (and also to topologically similar superconducting systems) is due to the presence of a link between “volume” and “boundary”. In this article, we have studied the discrete model SSH (Su-Schrieffer-Heeger) for polyacetylene. This model describes an electron in a one-dimensional chain of atoms with two alternating amplitudes of the transition to a neighboring atom. We have found the spectrum and resolution of this operator. The quasilevels (eigenvalues and resonances) in the case of a small potential have been investigated. In addition, we obtained a solution of the Lippmann-Schwinger equation and asymptotic formulas for the probability of transmission and reflection in case of small perturbation.

Для дискретного оператора Шредингера на графе с вершинами на пересечении двух прямых c потенциалом определенного вида в окрестностях точек ±2 (граничных точек существенного спектра) доказаны существование и единственность квазиуровней (собственных значений или резонансов), для них получены асимптотические формулы. Найдены условия, при которых коэффициент отражения равен нулю.

We consider the discrete Schr¨odinger operator with a potential of a special form defined on a graph whose nodes lie on the union of two intersected straight lines. We prove that there exist unique quasi-levels (eigenvalues or resonances) in the neighborhoods of the point ±2 (these points consist a boundary of the essential spectrum). The asymptotic formulae for quasi-levels are obtained. We find the conditions for the coefficient of reflection is equal to zero.

Углеродные нанотрубки активно исследуются в физической литературе в последние два десятилетия. Уникальные физические свойства, в частности высокая прочность и проводимость, обуславливают многообещающие возможности их применения в микроэлектронике. Несмотря на физическую актуальность этих задач, математически такие структуры исследовались очень мало. В данной работе в приближении сильной связи рассматривается гамильтониан электрона в однослойной нанотрубке типа «зигзаг» с примесью, равномерно распределенной в сечении нанотрубки. С помощью уравнения Липпмана-Швингера исследуется задача рассеяния для данного гамильтониана в случае малого потенциала примеси и медленных электронов. Поскольку электронная проводимость пропорциональна вероятности прохождения, фактически при этом изучается задача проводимости в нанотрубке. Получены простые формулы для коэффициентов отражения и прохождения. Найдены условия полного отражения и полного прохождения, а также условия возрастания и убывания вероятности прохождения.

Carbon nanotubes are being actively studied in the physics literature in the last two decades. Their unique physical properties, in particular high strength and conductivity, are the reason of the promising applications for their use in microelectronics. Despite the relevance of these physical problems, such structures are poorly mathematically studied. In this paper, within the tight-binding approximation, we consider the Hamiltonian of an electron in a single-walled zigzag nanotube with an impurity, evenly distributed in the cross section of the nanotube. Using the Lippmann-Schwinger equation, we investigate the scattering problem for this Hamiltonian in the case of small impurity potential and slow electrons. Since the electronic conductance is proportional to the transmission probability, we actually study the problem of conductance in a nanotube. Simple formulas for the reflection and transmission coefficients are obtained. The conditions of total reflection and total transmission, as well as the conditions of increasing and decreasing the transmission probability are found.