Все выпуски

Рассматривается линейная задача уклонения одного убегающего от группы преследователей, при условии, что игроки обладают равными динамическими возможностями, убегающий не покидает пределы выпуклого конуса. Доказывается, что если число преследователей меньше размерности пространства, то убегающий уклоняется от встречи на интервале [0, ∞).

We consider a linear problem of evasion of one evador from the group of persecutors provided that players posess equal dynamic possibilities and evador does not leave a convex cone. It is proved, that if the number of persecutors is less then dimension of scape then the evador evades from a meeting on a positive semiaxis.

Рассматриваются задачи управления на бесконечном промежутке времени со свободным правым концом. Получены необходимые условия сильной оптимальности. Сам метод доказательства фактически следует классической работе Халкина, а построенное в работе краевое условие на бесконечности является усилением условия, предложенного Сейерстадом. Построенная в работе полная система соотношений принципа максимума позволяет выписать для сопряженной переменной выражение в виде несобственного интеграла, зависящего лишь от разворачивающейся траектории. С.М. Асеев, А.В. Кряжимский, В.М. Вельев получали такое выражение в качестве необходимого условия в некоторых классах задач управления. Сильная оптимальность в ряде случаев позволяет создать переопределенную систему соотношений; в работе получены условия, достаточные для этого. Разобран пример.

In the paper we consider the infinite horizon control problems in the free end case. We obtain the necessary conditions of strong optimality. The method of the proof actually follows the classic paper by Halkin, and the boundary condition for infinity that we construct in our paper is a stronger variety of the Seierstad condition. The complete system of relations of the maximum principle that was obtained in the paper allows us to write the expression for the adjoint variable in the form of improper integral that depends only on the developing trajectory. S.M. Aseev, A.V. Kryazhimskii, and V.M. Veliov obtained the similar condition as a necessary condition for certain classes of control problems. As we note in our paper, the obtained conditions of strong optimality lead us to a redefined system of relations for sufficiently broad class of control problems. An example is considered.

В пространстве $\mathbb R^k$ $(k \geqslant 2)$ рассматривается нестационарная дифференциальная игра (обобщенный пример Л.С. Понтрягина) с $n$ преследователями и одним убегающим при одинаковых динамических и инерционных возможностях всех игроков, описываемая системой вида

$$Lz_{i}=z_{i}^{(l)}+a_{1}(t)z_{i}^{(l-1)}+ \dots +a_{l}(t)z_{i} =u_{i}-v, \quad u_{i},v\in V,$$

$$z_{i}^{(s)}(t_0) = z_{is}^0,\quad i=1,2, \ldots, n,\ s=0,1, \ldots, l-1.$$

Множество значений допустимых управлений игроков $V$ - строго выпуклый компакт с гладкой границей, $a_{1}(t),\dots, a_{l}(t)$ - непрерывные на $[t_0, \infty)$ функции, терминальные множества - начало координат. Преследователи используют квазистратегии. Предполагается, что функции $\xi_{i}(t)$, являющиеся решением задачи Коши

$$Lz_{i}=0,\quad z_{i}^{(s)}(t_0) = z_{is}^0,$$

являются рекуррентными. Приводятся свойства рекуррентных функций. В терминах начальных позиций и параметров игры получены достаточные условия разрешимости задачи преследования. Доказательство проводится с использованием метода разрешающих функций. Приведен пример, иллюстрирующий полученные условия.

A non-stationary differential game (a generalized example of L.S. Pontryagin) with $n$ pursuers and one evader is considered in the space $\mathbb R^k$ $(k \geqslant 2)$. All players have equal dynamic and inertial capabilities. The game is described by a system of the form

$$Lz_{i}=z_{i}^{(l)}+a_{1}(t)z_{i}^{(l-1)}+ \dots +a_{l}(t)z_{i} =u_{i}-v, \quad u_{i},v\in V,$$

$$z_{i}^{(s)}(t_0) = z_{is}^0,\quad i=1,2, \ldots, n,\ s=0,1, \ldots, l-1.$$

The set $V$ of admissible player controls is strictly convex compact set with smooth boundary, $a_{1}(t),\dots, a_{l}(t)$ are continuous on $[t_0, \infty)$ functions, the terminal sets are the origin of coordinates. Pursuers use quasi-strategies. It is assumed that functions $\xi_{i}(t)$ being the solution of Cauchy problem

$$Lz_{i}=0,\quad z_{i}^{(s)}(t_0) = z_{is}^0,$$

are recurrent. Properties of recurrent functions are given. In terms of initial positions and game parameters the sufficient conditions of the pursuit problem solvability are obtained. The proof is carried out using the method of resolving functions. An example illustrating the obtained conditions is given.

Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности (КУО) — принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина — в выпуклой задаче оптимального управлении с функциональными ограничениями типа равенства и неравенства. Управляемая система задается линейным функционально-операторным уравнением второго рода общего вида в пространстве $L^m_2$, основной оператор правой части уравнения предполагается квазинильпотентным. Целевой функционал задачи является сильно выпуклым. Получение регуляризованных КУО в итерационной форме основано на использовании метода итеративной двойственной регуляризации. Основное предназначение получаемых в работе регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина в итерационной форме — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. Регуляризованные КУО в итерационной форме формулируются как теоремы существования в исходной задаче минимизирующих приближенных решений. Они «преодолевают» свойства некорректности КУО и являются регуляризирующими алгоритмами для решения оптимизационных задач. В качестве иллюстративного примера рассматривается задача оптимального управления, связанная с гиперболической системой дифференциальных уравнений первого порядка.

We consider the regularization of the classical optimality conditions (COCs) — the Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle — in a convex optimal control problem with functional constraints of equality and inequality type. The system to be controlled is given by a general linear functional-operator equation of the second kind in the space $L^m_2$, the main operator of the right-hand side of the equation is assumed to be quasinilpotent. The objective functional of the problem is strongly convex. Obtaining regularized COCs in iterative form is based on the use of the iterative dual regularization method. The main purpose of the regularized Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle obtained in the work in iterative form is stable generation of minimizing approximate solutions in the sense of J. Warga. Regularized COCs in iterative form are formulated as existence theorems in the original problem of minimizing approximate solutions. They “overcome” the ill-posedness properties of the COCs and are regularizing algorithms for solving optimization problems. As an illustrative example, we consider an optimal control problem associated with a hyperbolic system of first-order differential equations.

Рассматривается задача об оптимальном управлении по быстродействию. Обсуждаются достаточные условия локальной оптимальности, связанные с необходимыми условиями принципа максимума Понтрягина при условии полной управляемости системы в вариациях. Задача обсуждается для системы, описываемой векторным дифференциальным уравнением, обыкновенным или с последействием. В случае конфликтного управления обсуждается задача оптимального управления по критерию минимакса-максимина времени выхода системы в заданное состояние. Рассматривается модельный пример и обсуждается соответствующий вычислительный эксперимент.

In the paper a time-optimal control problem is considered. Sufficient conditions for local optimality are obtained which are linked with necessary conditions of Pontryagin's maximum principle under assumption of total controllability of a system in variations. The problem is studied for a system described by a vector differential equation either ordinary or with aftereffect. In the case of conflict control, the optimal control problem is discussed for a criterion of the minmax-maxmin time when the system attains a given state. The model example is given and the corresponding numerical experiment is discussed.