Все выпуски

Работа посвящена вопросу об абсолютной непрерывности спектра двумерного обобщенного периодического оператора Шрёдингера $H_g+V=-\nabla g\nabla+V$, где непрерывная положительная функция $g$ и скалярный потенциал $V$ имеют общую решетку периодов $Λ$. Решения уравнения $(H_g+V)\varphi=0$ определяют, в частности, электрическое и магнитное поля для электромагнитных волн, распространяющихся в двумерных фотонных кристаллах. При этом функция $g$ и скалярный потенциал $V$ выражаются через диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$ и магнитную проницаемость $\mu$ ($V$ также зависит от частоты электромагнитной волны). Диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ может быть разрывной функцией (и обычно выбирается кусочно-постоянной), поэтому возникает задача об ослаблении известных условий гладкости для функции $g$, обеспечивающих абсолютную непрерывность спектра оператора $H_g+V$. В настоящей работе предполагается, что коэффициенты Фурье функций $g^{\pm\frac12}$ при некотором $q\in[1, \frac43)$ удовлетворяют условию $\sum\left(|N|^\frac12\left|\left(g^{\pm\frac12}\right)_N\right|\right)^q<+\infty$ и скалярный потенциал $V$ имеет нулевую грань относительно оператора $-Δ$ в смысле квадратичных форм. Пусть $K$ - элементарная ячейка решетки $Λ$, $K^*$ - элементарная ячейка обратной решетки $\Lambda^*$. Оператор $H_g+V$ унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов $H_g(k)+V$, где $k$ - квазиимпульс из $2\pi K^*$, действующих в $L^2(K)$. Последние операторы можно также рассматривать при комплексных векторах $k+ik'\in \mathbb{C}^2$. В статье используется метод Томаса. Доказательство абсолютной непрерывности спектра оператора $H_g+V$ сводится к доказательству обратимости операторов $H_g(k+ik')+V-\lambda$, $\lambda\in \mathbb{R}$, при определенным образом выбираемых комплексных векторах $k+ik'\in \mathbb{C}^2$ (зависящих от $g$, $V$ и числа $\lambda$) с достаточно большой мнимой частью $k'$.

The paper is concerned with the problem of absolute continuity of the spectrum of the two-dimensional generalized periodic Schrodinger operator $H_g+V=-\nabla g\nabla+V$ where the continuous positive function $g$ and the scalar potential $V$ have a common period lattice $\Lambda$. The solutions of the equation $(H_g+V)\varphi=0$ determine, in particular, the electric field and the magnetic field of electromagnetic waves propagating in two-dimensional photonic crystals. The function $g$ and the scalar potential $V$ are expressed in terms of the electric permittivity $\varepsilon$ and the magnetic permeability $\mu$ ($V$ also depends on the frequency of the electromagnetic wave). The electric permittivity $\varepsilon$ may be a discontinuous function (and usually it is chosen to be piecewise constant) so the problem to relax the known smoothness conditions on the function $g$ that provide absolute continuity of the spectrum of the operator $H_g+V$ arises. In the present paper we assume that the Fourier coefficients of the functions $g^{\pm\frac12}$ for some $q\in[1, \frac43)$ satisfy the condition $\sum\left(|N|^\frac12\left|\left(g^{\pm\frac12}\right)_N\right|\right)^q<+\infty$, and the scalar potential $V$ has relative bound zero with respect to the operator $-\Delta$ in the sense of quadratic forms. Let $K$ be the fundamental domain of the lattice $\Lambda$, and assume that $K^*$ is the fundamental domain of the reciprocal lattice $\Lambda^*$. The operator $H_g+V$ is unitarily equivalent to the direct integral of operators $H_g(k)+V$, with quasimomenta $k\in 2\pi K^*$, acting on the space $L^2(K)$. The last operators can be also considered for complex vectors $k+ik'\in \mathbb{C}^2$. We use the Thomas method. The proof of absolute continuity of the spectrum of the operator $H_g+V$ amounts to showing that the operators $H_g(k+ik')+V-\lambda$, $\lambda\in \mathbb{R}$, are invertible for some appropriately chosen complex vectors $k+ik'\in \mathbb{C}^2$ (depending on $g$, $V$, and the number $\lambda$) with sufficiently large imaginary parts $k'$.

Рассматривается периодический оператор Шредингера Ĥ_A+V в Rⁿ, n≥3. На векторный потенциал A накладываются ограничения, которые, в частности, выполнены, если потенциал A принадлежит классу Соболева H^q_loc(Rⁿ;Rⁿ), 2q>n-1, а также в случае, когда Σ ||A_N||_Cⁿ<+∞, где A_N – коэффициенты Фурье потенциала A. Доказана абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шредингера Ĥ_A+V для скалярных потенциалов V из пространства Морри L^2,p(Rⁿ), p∈((n-1)/2,n/2], для которых ||Χ_Br(x)V||_2,p≤ε₀ при всех достаточно малых r>0 и всех x∈Rⁿ, где число ε₀=ε₀(n,p;A)>0 зависит от векторного потенциала A, B_r(x) – замкнутый шар радиуса r>0 с центром в точке x∈Rⁿ, Χ_Κ – характеристическая функция множества K⊆Rⁿ, ||.||_2,p –
норма в пространстве L^2,p(Rⁿ). Пусть K – элементарная ячейка решетки периодов потенциалов A и V, K* – элементарная ячейка обратной решетки. Оператор Ĥ_A+V  унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов Ĥ_A(k)+V, k∈2πK*, действующих в L²(K). Последние операторы рассматриваются также при комплексных векторах k+ik’∈Cⁿ. При доказательстве абсолютной непрерывности спектра оператора Ĥ_A+V используется метод Томаса и оценки резольвенты операторов Ĥ_A(k+ik’)+V при определенным образом выбираемых комплексных векторах k+ik’∈Cⁿ с достаточно большой мнимой частью k’.

We consider the periodic Schrödinger operator Ĥ_A+V in Rⁿ, n≥3. The vector potential A is supposed to satisfy some conditions which are fullled whenever the potential A belongs to the Sobolev class H^q_loc(Rⁿ;Rⁿ), 2q>n-1, and also in the case where Σ ||A_N||_Cⁿ<+∞. Here A_N are the Fourier coecients of the potentialA. We prove absolute continuity of the spectrum of the periodic Schrödinger operator Ĥ_A+V provided that the scalar potential V belongs to the Morrey space L^2,p(Rⁿ), p∈((n-1)/2,n/2] and ||Χ_Br(x)V||_2,p≤ε₀ for all suciently small r>0 and all x∈Rⁿ, where the number ε₀=ε₀(n,p;A)>0 depends on the vector potential A, B_r(x) is a closed ball of radius r>0 centered at the point x∈Rⁿ, Χ_Κ a characteristic function of a set K⊆Rⁿ, ||.||_2,p the norm in the space L^2,p(Rⁿ). Let K be the fundamental domain of the period lattice (which is common for the potentials A and V), K the fundamental domain of the reciprocal lattice. The operator Ĥ_A+V is unitarily equivalent to the direct integral of operators Ĥ_A(k)+V, k∈2πK*, acting on the space L₂(K). The last operators are also considered for complex vectors k+ik’∈Cⁿ. To prove absolute continuity of the spectrum of the operator Ĥ_A+V, we use the Thomas method. The main ingredients in the proof are the inequalities for the resolvent of the operators Ĥ_A(k+ik’)+V which hold for some appropriate chosen complex vectors k+ik’∈Cⁿ with suciently large imaginary part k’.

Рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе, являющийся гамильтонианом электрона, в приближении сильной связи в системе, состоящей из квантовой проволоки и двух внедренных квантовых точек. Данный оператор описывает двухбарьерную резонансную наноструктуру, причем один из барьеров представляет собой нелокальный потенциал. Описан существенный и абсолютно непрерывный спектр оператора. Изучается задача рассеяния в стационарной постановке для двух возможных направлений распространения частицы. Найдены условия полного отражения и полного прохождения.

We consider a discrete Schrödinger operator on the graph, which is the Hamiltonian in the tight-binding approach of an electron in the system consisting of a quantum wire, and two embedded quantum dots. This operator describes the double-barrier resonant nanostructure, in which one of the barriers is a non-local potential. The essential and absolutely continuous spectra of this operator are described. We study the scattering problem in the stationary approach for two possible directions of particles propagation. The conditions of total reflection and total transmission are found.

Доказана абсолютная непрерывность спектра многомерного периодического оператора Дирака для некоторых классов разрывных магнитных потенциалов.

The absolute continuity of the spectrum of multidimensional periodic Dirac operator is proved for certain classes of discontinuous magnetic potentials.