Все выпуски

Рассмотрено взаимное расположение вершин единичного многомерного куба, аффинного подпространства и его ортогональных проекций на координатные подпространства. Даны верхние и нижние ограничения размерности подпространства, при которых некоторая ортогональная проекция всегда сохраняет отношение инцидентности подпространства и вершин куба. Также рассмотрены некоторые косоугольные проекции. Кроме того, дан краткий обзор истории развития многомерной начертательной геометрии. Аналитические и синтетические методы в геометрии обособились с XVII века. Хотя анализ и синтез тесно переплетаются, с этого времени многие геометры и инженеры делают тонкое различие. Указания на идею о многомерном пространстве можно найти в работах XVIII века, но настоящее развитие началось с середины XIX века. Вскоре такие работы появились и на русском языке. Далее многие математики обобщали свои теории на многомерный случай. Наши новые результаты получены аналитическими и синтетическими методами. Они иллюстрируют сложность задач псевдобулева программирования, поскольку снижение размерности задачи методом ортогонального проектирования встречает препятствие в худшем случае.

We consider the arrangement of vertices of a unit multidimensional cube, an affine subspace, and its orthogonal projections onto coordinate subspaces. Upper and lower bounds on the subspace dimension are given under which some orthogonal projection always preserves the incidence relation between the subspace and cube vertices. Some oblique projections are also considered. Moreover, a brief review of the history of the development of multidimensional descriptive geometry is given. Analytic and synthetic methods in geometry diverged since the 17th century. Although both synthesis and analysis are tangled, from this time forth many geometers as well as engineers keep up a nice distinction. One can find references to the idea of higher-dimensional spaces in the 18th-century works, but proper development has been since the middle of the 19th century. Soon such works have appeared in Russian. Next, mathematicians generalized their theories to many dimensions. Our new results are obtained by both analytic and synthetic methods. They illustrate the complexity of pseudo-Boolean programming problems because reducing the problem dimension by orthogonal projection meets obstacles in the worst case.

В статье рассмотрены методы для обнаружения особых точек на аффинной гиперповерхности или подтверждения гладкости этой гиперповерхности. Наш подход основан на построении касательных прямых к данной гиперповерхности. Существование хотя бы одной особой точки накладывает ограничение на алгебраическое уравнение, определяющее совокупность касательных прямых, проходящих через выделенную точку в пространстве. Это уравнение основано на формуле для дискриминанта многочлена от одной переменной. Для произвольно фиксированной степени гиперповерхности нами предложен детерминированный алгоритм полиномиального времени для вычисления базиса в подпространстве соответствующих многочленов. Если линейная комбинация таких многочленов не обращается в нуль на гиперповерхности, то гиперповерхность гладкая. Мы формулируем достаточное условие гладкости, проверяемое за полиномиальное время. Для некоторых гладких аффинных гиперповерхностей это условие выполнено. Этот набор включает графики кубических многочленов от нескольких переменных, а также другие примеры кубических гиперповерхностей. С другой стороны, это условие не выполняется для некоторых кубических гиперповерхностей высокой размерности. Это не мешает применению метода в низких размерностях. Также поиск особых точек важен для решения некоторых задач машинного зрения, в том числе для обнаружения угла у препятствия по последовательности кадров с одной камеры на движущемся транспортном средстве.

The article focuses on methods to look for singular points of an affine hypersurface or to confirm the smoothness of the hypersurface. Our approach is based on the description of tangent lines to the hypersurface. The existence of at least one singular point imposes a restriction on the algebraic equation that determines the set of tangent lines passing through the selected point of the space. This equation is based on the formula for the discriminant of a univariate polynomial. For an arbitrary fixed hypersurface degree, we have proposed a deterministic polynomial time algorithm for computing a basis for the subspace of the corresponding polynomials. If a linear combination of these polynomials does not vanish on the hypersurface, then the hypersurface is smooth. We state a sufficient smoothness condition, which is verifiable in polynomial time. There are smooth affine hypersurfaces for which the condition is satisfied. The set includes the graphs of cubic polynomials in many variables as well as other examples of cubic hypersurfaces. On the other hand, the condition is violated for some high-dimensional cubic hypersurfaces. This does not prevent the application of the method in low dimensions. Searching for singular points is also important for solving some problems of machine vision, including detection of a corner by means of the frame sequence with one camera on a moving vehicle.