Все выпуски

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

The paper studies the motions of a dynamically symmetric satellite (rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field on a weakly elliptical orbit in the neighborhood of its stationary rotation (cylindrical precession). We consider the values of the parameters for which, in the limiting case of a circular orbit, one of the frequencies of small linear oscillations is equal to unity and the other is equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of the perturbed motion is equal to two, as well as a small neighborhood of this resonant point in the three-dimensional space of parameters. The resonant periodic motions of the satellite, analytical in fractional powers of a small parameter (the eccentricity of the orbit of the satellite's center of mass), are constructed. A rigorous nonlinear analysis of their stability is carried out. The methods of KAM theory are used to describe two- and three-frequency conditionally periodic motions of a satellite, with frequencies of different orders in a small parameter. A number of general theoretical issues concerning the considered multiple parametric resonance in Hamiltonian systems with two degrees of freedom that are close to autonomous and periodic in time are discussed. Several qualitatively different variants of parametric resonance regions are constructed. It is shown that in the general case the nature of nonlinear resonant oscillations of the system is determined by the first approximation system in a small parameter.

В работе определены границы применимости квазистационарного подхода в моделировании динамики жидкости, испаряющейся с подложки (при постоянной площади контакта) и в открытой цилиндрической ячейке капли. Для сравнения рассматривается нестационарная модель. Нестационарная система уравнений (с полной формой записи уравнения движения) и квазистационарная система уравнений решаются численно. Расчеты проведены при различных значениях скорости испарения и капиллярного числа на примере капель воды и этиленгликоля. Анализ расчетных данных показал, что на финальной стадии испарения капли чистого растворителя результаты, полученные с использованием двух моделей, расходятся. На конечном этапе процесса скорость радиального течения, вычисленная с помощью нестационарной модели, точнее согласуется с экспериментальными данными, чем результат, полученный на базе квазистационарного подхода. Этот факт объясняется тем, что на последней стадии испарения квазистационарное приближение плохо работает ввиду стремительного относительного изменения толщины пленки и больших значений скоростей.

Applicability limits of a quasisteady approach to modelling the fluid dynamics in evaporated drop on a substrate (with constant contact area) and in circular well are defined in this paper. A nonsteady model is considered for comparison. Quasisteady and nonsteady (with the full-form equation of motion) sets of equations have been solved numerically. The modeling is carried out at different values of evaporation rate and capillary number. Water and ethylene glycol drops were taken as examples. Analysis of calculated data shows that results obtained for the final stage of pure solvent evaporation by using two models differ from each other. Velocity of a radial flow calculated with the help of nonsteady model agrees with experimental data much better than the result obtained using a quasisteady approach at the final stage of process. This is because at the final stage of evaporation the quasisteady approach works poorly due to the rapid changes in the relative film thickness and high velocities.

Рассмотрены закрученные ламинарные осесимметричные течения вязких несжимаемых жидкостей в потенциальном поле массовых сил. Исследования течений осуществляются в цилиндрической системе координат. В течениях отдельно рассматриваются области, в которых осевая производная окружной скорости не может принимать нулевое значение в какой-нибудь открытой окрестности (существенно закрученные течения), и области, в которых эта производная равна нулю (область со слоистой закруткой). Показано, что для областей со слоистой закруткой можно применять известный метод (метод вязких вихревых доменов), разработанный для незакрученных течений. Для существенно закрученных течений получена формула для вычисления радиально-осевой скорости воображаемой жидкости через окружную компоненту завихренности, окружную циркуляцию реальной жидкости и частные производные этих функций. Частицы этой воображаемой жидкости «переносят» вихревые трубки радиально-осевой составляющей завихренности с сохранением интенсивности этих трубок, а также «переносят» величину окружной циркуляции и произведение окружной составляющей завихренности на некоторую функцию расстояния до оси симметрии. Предложен неинтегральный способ восстановления поля скорости по полю завихренности. Он сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с двумя переменными. Полученный результат предлагается использовать для распространения метода вязких вихревых доменов на закрученные осесимметричные течения.

Swirling laminar axisymmetric flows of viscous incompressible fluids in a potential field of body forces are considered. The study of flows is carried out in a cylindrical coordinate system. In the flows, the regions in which the axial derivative of the circumferential velocity cannot take on zero value in some open neighborhood (essentially swirling flows) and the regions in which this derivative is equal to zero (the region with layered swirl) are considered separately. It is shown that a well-known method (the method of viscous vortex domains) developed for non-swirling flows can be used for regions with layered swirling. For substantially swirling flows, a formula is obtained for calculating the radial-axial velocity of an imaginary fluid through the circumferential vorticity component, the circumferential circulation of a real fluid, and the partial derivatives of these functions. The particles of this imaginary fluid “transfer” vortex tubes of the radial-axial vorticity component while maintaining the intensity of these tubes, and also “transfer” the circumferential circulation and the product of the circular vorticity component by some function of the distance to the axis of symmetry. A non-integral method for reconstructing the velocity field from the vorticity field is proposed. It is reduced to solving a system of linear algebraic equations in two variables. The obtained result is proposed to be used to extend the method of viscous vortex domains to swirling axisymmetric flows.