Все выпуски

В работе изучается влияние шума на модель ферментативной реакции Голдбетера, описывающую механизм колебательного синтеза циклического аденозинмонофосфата в клетке. Показано, что модель отличается высокой чувствительностью к вариациям параметров и начальных условий. Демонстрируется и исследуется явление стохастической возбудимости в зоне устойчивого равновесия. Показано, что воздействие шума приводит к резкому переходу от малоамплитудных стохастических осцилляций к спайковым колебаниям большой амплитуды. Для параметрического анализа этого явления используются техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных эллипсов. Изучена зависимость критического значения интенсивности шума, при котором начинается генерация большеамплитудных колебаний, от близости управляющего параметра к точке бифуркации. Для детального анализа частотных свойств стохастических колебаний проведен статистический анализ межспайковых интервалов и обнаружено явление когерентного резонанса.

We study the influence of noise on the Goldbeter model of the enzymatic reaction, which describes the mechanism of oscillatory synthesis of cyclic adenosine monophosphate in a cell. It is shown that the model is highly sensitive to variations of parameters and initial conditions. The phenomenon of stochastic excitability in a stable equilibrium zone is demonstrated and studied. We show that the noise results in a sharp transition from low-amplitude stochastic oscillations to large-amplitude spike oscillations. For the parametric analysis of this phenomenon, the technique of stochastic sensitivity functions and the method of confidence ellipses are used. We study how the critical value of the noise intensity corresponding to the generation of large-amplitude oscillations depends on the proximity of a control parameter to a bifurcation point. For a detailed analysis of the frequency properties of stochastic oscillations, a statistical analysis of interspike intervals is carried out, and a phenomenon of coherent resonance is found.

В статье рассматривается задача о приведении движения нелинейной управляемой системы в начало координат при заданном интегральном ресурсе управления на конечном промежутке времени. Исследуется вопрос о построении локального синтеза управления, решающего задачу, в предположении, что промежуток времени, в течение которого осуществляется перевод системы, достаточно мал. Указаны достаточные условия, при выполнении которых задачу можно решить путем приближенной замены нелинейной системы ее линеаризацией в окрестности начала координат.

The paper considers the problem of leading a nonlinear control system to the origin of coordinates at a given integral control resource on a finite time interval. We investigate the question of the construction of local control synthesis that solves the problem, assuming that the time interval during which the system is moved is sufficiently small. We indicate sufficient conditions under which the problem can be solved by the approximate replacement of the nonlinear system by its linearization in the neighborhood of the origin.

Для динамической системы, подверженной воздействиям управления и помехи и содержащей последействие в управляющих силах, рассматривается задача об управлении с оптимальным гарантированным результатом для показателя качества, представляющего собой евклидову норму совокупности отклонений движения системы в заданные моменты времени от заданных целей. На основе функциональной трактовки, опирающейся на своеобразный прогноз движений, исходная задача сводится к вспомогательной дифференциальной игре для системы без запаздывания и с терминальной платой. Функция цены этой игры вычисляется на базе конструкции выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций из метода стохастического программного синтеза, оптимальные стратегии строятся методом экстремального сдвига на сопутствующие точки. Рассматриваются иллюстрирующие примеры, приводятся результаты численных экспериментов.

For a dynamical system under control and disturbances, and with delay in control, the problem of control with the optimal guaranteed result is considered for a quality index which is the Euclidean norm of the set of deviations of a system motion at the given instants from the given targets. On the basis of a functional treatment basing on a proper prediction of the motion the problem is reduced to an auxiliary differential game for a system without delay and with a terminal quality index. The value of this game is calculated from the construction of upper convex hulls of auxiliary functions from the method of stochastic program synthesis, optimal strategies are formed by the method of an extremal shift to the corresponding points. Illustrating examples and results of numerical experiments are presented.

Работа посвящена развитию полиэдральных методов решения двух задач управления линейными многошаговыми системами с неопределенностями при фазовых ограничениях — задач терминального сближения и уклонения. Они возникают в системах с двумя управлениями, где цель одного — привести траекторию на заданное конечное множество в заданный момент времени, не нарушая фазовых ограничений, цель другого — противоположна. Предполагается, что конечное множество — параллелепипед, управления стеснены параллелотопозначными ограничениями, фазовые ограничения заданы в виде полос. Представлены методы решения обеих задач с использованием полиэдральных (параллелотопо- или параллелепипедо-значных) трубок. Методы решения задачи сближения предложены автором ранее, но здесь исследуются их дополнительные свойства. В частности, для случая без фазовых ограничений найдены гарантированные оценки для траектории, обеспечивающие ее нахождение внутри трубки. Даны удобные достаточные условия, гарантирующие получение невырожденных сечений в процессе вычислений. Для задачи уклонения сначала рассматривается общая схема решения, а затем предлагаются полиэдральные методы. Приводятся и сравниваются целые параметрические семейства внешних и внутренних полиэдральных оценок трубок разрешимости обеих задач. Приведен иллюстрирующий пример.

The paper is devoted to elaboration of polyhedral techniques for solving two control problems for linear discrete-time systems with uncertainties under state constraints, namely, the terminal approach problem and the terminal evasion one. Such problems arise in systems with two controls, where the aim of the first is to steer the trajectory onto a given terminal set at a given instant without violating the state constraints, the aim of the other is opposite. It is assumed that the terminal set is a parallelepiped, the controls are bounded by parallelotope-valued constraints, and the state constraints are given in the form of so-called zones. We present techniques for solving both problems basing on polyhedral (parallelotope-valued or parallelepiped-valued) tubes. The techniques for solving the approach problem were proposed by the author earlier, but here additional properties of them are investigated. In particular, for the case without state constraints, guaranteed estimates are found for the trajectory that ensure that it is inside the tube. Convenient sufficient conditions are given to guarantee the obtaining of nondegenerate cross-sections during the calculations. For the evasion problem, a common solution scheme is considered, and then polyhedral techniques are proposed. The whole parametric families of external and internal polyhedral estimates for the solvability tubes for both problems are presented and compared. An illustrative example is given.

В работе рассматриваются динамические биматричные игры с интегральными показателями, дисконтированными на бесконечном интервале времени. Динамика системы задается дифференциальными уравнениями, описывающими изменение поведения игроков в зависимости от поступающих сигналов управления. Рассматривается задача построения равновесных траекторий в рамках минимаксного подхода, предложенного Н.Н. Красовским и А.И. Субботиным в теории дифференциальных игр. Используется конструкция динамического равновесия по Нэшу, которая развита в работах А.Ф. Клейменова. Для синтеза оптимальных стратегий управления применяется принцип максимума Л.С. Понтрягина в сочетании с методом характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби. Получены аналитические формулы для кривых переключения оптимальных стратегий управления. Проведен анализ чувствительности равновесных решений в зависимости от параметра дисконтирования в интегральных функционалах выигрыша. Установлена асимптотическая сходимость равновесных траекторий по параметру дисконтирования к решению динамической биматричной игры со среднеинтегральными функционалами выигрыша, которые исследовались в работах В.И. Арнольда. Рассмотрено приложение полученных результатов к динамической модели инвестирования на финансовых рынках.

The paper is devoted to the analysis of dynamical bimatrix games with integral indices discounted on an infinite time interval. The system dynamics is described by differential equations in which players' behavior changes according to incoming control signals. For this game, a problem of construction of equilibrium trajectories is considered in the framework of minimax approach proposed by N.N. Krasovskii and A.I. Subbotin in the differential games theory. The game solution is based on the structure of dynamical Nash equilibrium developed in papers by A.F. Kleimenov. The maximum principle of L.S. Pontryagin in combination with the method of characteristics for Hamilton-Jacobi equations are applied for the synthesis of optimal control strategies. These methods provide analytical formulas for switching curves of optimal control strategies. The sensitivity analysis for equilibrium solutions is implemented with respect to the discount parameter in the integral payoff functional. It is shown that equilibrium trajectories in the problem with the discounted payoff functional asymptotically converge to the solution of a dynamical bimatrix game with average integral payoff functionals examined in papers by V.I. Arnold. Obtained results are applied to a dynamical model of investments on financial markets.

Рассматривается линейная дифференциальная игра с импульсным управлением первого игрока. Возможности первого игрока определяются запасом ресурсов, который он может использовать при формировании своего управления. В отдельные моменты времени возможно отделение части запаса ресурсов, что может привести к «мгновенному» изменению фазового вектора, тем самым задача усложняется. Управление второго игрока стеснено геометрическими ограничениями. Вектограммы игроков описываются одним и тем же шаром с разными радиусами, зависящими от времени. Терминальное множество в игре определяется условием принадлежности нормы фазового вектора отрезку с положительными концами. Множество, определяемое данным условием, названо в работе кольцом. Цель первого игрока заключается в том, чтобы в заданный момент времени привести фазовый вектор на терминальное множество. Цель второго игрока противоположна. С помощью максимального стабильного моста, определенного авторами ранее, построены оптимальные управления игроков.

We consider a linear differential game with a pulse control of the first player. The abilities of the first player are determined by the stock of resources that the player can use when forming his control. At certain instants of time a separation of part of the resources stock is possible, which may implicate an “instantaneous” change of a phase vector, resulting in the complication of the problem. The control of the second player has geometrical constraints. The vectograms of the players are described by the same ball with different time-dependent radii. The terminal set of the game is determined by the condition of belonging the norm of a phase vector to a segment with positive ends. In this paper, a set defined by this condition is called a ring. The aim of the first player is to lead a phase vector to the terminal set at fixed time. The aim of the second player is opposite. With the maximal stable bridge, which has been defined by the authors previously, optimal controls of players are constructed.

Рассматривается линейное однородное автономное дескрипторное уравнение с дискретным временем $$B_0g(k+1)+\sum_{i=1}^mB_ig(k+1-i)=0,\quad k=m,m+1,\ldots,$$ c прямоугольными (в общем случае) матрицами $B_i.$ Такое уравнение возникает при исследовании задач управления системами со многими соизмеримыми запаздываниями в управлении: задачи 0-управляемости, задачи синтеза регулятора типа обратной связи, обеспечивающего успокоение решения исходной системы, задачи модальной управляемости (управляемости коэффициентов характеристического квазиполинома), задачи спектральной приводимости и задачи синтеза наблюдателей для двойственной системы наблюдения. Для изучаемого дескрипторного уравнения с дискретным временем на основе решения конечной цепочки однородных алгебраических систем построено описание подпространства начальных условий, для которых это уравнение разрешимо. Получено представление всех его решений в виде, позволяющем организовать вычислительный процесс для нахождения одного из решений этого уравнения. Изучены свойства этого уравнения, используемые в задачах синтеза регуляторов для непрерывных систем со многими соизмеримыми запаздываниями в управлении. Отличительной чертой представленного исследования изучаемого объекта является использование подхода, не требующего построения преобразований, приводящих матрицы исходного уравнения к различным каноническим формам.

We consider a linear homogeneous autonomous descriptor equation with discrete time $$B_0g(k+1)+\sum_{i=1}^mB_ig(k+1-i)=0,\quad k=m,m+1,\ldots,$$ with rectangular (in general case) matrices $B_i$. Such an equation arises in the study of the most important control problems for systems with many commensurate delays in control: the 0-controllability problem, the synthesis problem of the feedback-type regulator, which provides calming to the solution of the original system, the modal controllability problem (controllability of the coefficients of characteristic quasipolynomial), the spectral reduction problem and the problem of observers' synthesis for a dual surveillance system. For the studied descriptor equation with discrete time, a subspace of initial conditions for which this equation is solvable is described based on the solution of a finite chain of homogeneous algebraic systems. The representation of all its solutions is obtained in the form of some explicit recurrent formula convenient for the organization of the computational process. Some properties of this equation that are used in the problems of regulator synthesis for continuous systems with many commensurate delays in control are studied. A distinctive feature of the presented study of the object under consideration is the use of an approach that does not require the construction of transformations reducing the matrices of the original equation to different canonical forms.