Все выпуски

В статье рассматривается задача устойчивой реконструкции неизвестного входа системы по результатам неточных измерений ее решения. Суть задачи состоит в следующем. Имеется система, описываемая распределенным уравнением второго порядка, решение которой зависит от входа, меняющегося со временем. Как вход, так и решение заранее не известны. В дискретные моменты времени измеряется решение уравнения. Результаты измерения неточны. Требуется построить алгоритм приближенного восстановления входа, обладающий свойствами динамичности и устойчивости. Свойство динамичности означает, что текущие значения приближений входа вычисляются в реальном времени (он-лайн). Свойство устойчивости — что приближения являются достаточно точными, при хорошей точности измерений. Задача относится к классу обратных задач. Представленный в статье алгоритм основан на конструкциях теории устойчивого динамического обращения в комбинации с методами некорректных задач и позиционного управления.

In this paper, we consider the stable reconstruction problem of the unknown input of a distributed system of second order by results of inaccurate measurements of its solution. The content of the problem considered is as follows. We consider a distributed equation of second order. The solution of the equation depends on the input varying in the time. The input, as well as the solution, is not given in advance. At discrete times the solution of the equation is measured. These measurements are not accurate in general. It is required to design an algorithm for approximate reconstruction of the input that has dynamical and stability properties. The dynamical property means that the current values of approximations of the input are produced on-line, and the stability property means that the approximations are arbitrarily accurate for a sufficient accuracy of measurements. The problem refers to the class of inverse problems. The algorithm presented in the paper is based on the constructions of a stable dynamical inversion and on the combination of the methods of ill-posed problems and positional control theory.

В данной работе представлена и проанализирована симметричная стабилизированная коллокационная формулировка метода конечных объемов для стационарной обобщенной задачи Стокса. Этот метод основан на аппроксимации наинизшего порядка (кусочно-постоянные функции) для обеих неизвестных величин: скорости и давления. Стабилизация достигается за счет добавления в формулировку дискретного слагаемого, связанного с давлением. Установлены свойства устойчивости и сходимости метода. В заключение представлены два численных примера, подтверждающие устойчивость и точность предложенного метода.

In this paper, a symmetric stabilized collocated formulation of finite volume method is introduced and analyzed for the stationary generalized Stokes problem. This method is based on the lowest-order approximation using piecewise constant functions for both velocity and pressure unknowns. Stabilization is achieved by adding a discrete pressure term to the approximate formulation. The stability and convergence properties are established. Two numerical examples are presented to confirm the stability and accuracy of the proposed method.

Изучаются свойства дискретной вариационной задачи динамической аппроксимации в комплексном евклидовом (L + 1)-мерном пространстве E. Она обобщает известные задачи среднеквадратической полиномиальной аппроксимации функций, заданных своими отсчетами в конечном интервале. В рассматриваемой задаче аппроксимация последовательности y = {y_i}_L⁰ отсчетов функции y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh на сетке I_h осуществляется решениями однородных линейных дифференциальных или разностных уравнений заданного порядка n с постоянными, но, возможно, неизвестными коэффициентами. Тем самым показано, что в последнем случае задача аппроксимации включает в себя и задачу идентификации. Анализ ее особенностей - основная тема статьи. Ставится задача нахождения вектора коэффициентов  разностного уравнения Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, где k = 0,L − n. Оптимизируются коэффициенты  и начальные условия переходного процесса y этого уравнения. Цель оптимизации - наилучшая аппроксимация исследуемого динамического процесса y ∈ E. Критерий аппроксимации  минимум величины ||y − ŷ||²_E. Показано, что изучаемая вариационная задача сводится к задачам проектирования в E вектора y на ядра разностных операторов с неизвестными коэффициентами α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹. Здесь α - направление, S - сфера или гиперплоскость. Показана связь изучаемой задачи с задачами дискретизации и идентифицируемости. Тогда координаты вектора y ∈ E есть точное решение дифференциального уравнения на сетке I_h и y = ŷ. Дано сравнение изучаемой задачи вариационной идентификации с алгебраическими методами идентификации. Показано, что ортогональные дополнения к ядрам разностных операторов всегда имеют теплицев базис. Это приводит к быстрым проекционным алгоритмам вычислений. Показано, что задача нахождения оптимального вектора α сводится к задаче безусловной минимизации функционала идентификации, зависящего от направления  в Eⁿ⁺¹. Предложена итерационная процедура его минимизации на сфере с широкой областью и высокой скоростью сходимости. Изучаемую вариационную задачу можно применять при математическом моделировании в управлении и научных исследованиях. При этом на конечных интервалах может использоваться, в частности, возможность кусочно-линейной динамической аппроксимации сложных динамических процессов разностными и дифференциальными уравнениями указанного типа.

Some properties of the discrete variational problem of the dynamic approximation in the complex Euclidean (L + 1)-dimensional space are studied here. It generalizes familiar problems of the mean square polynomial approximation of the functions given on the finite interval in accordance with their references. In the problem under consideration sequence approximation y = {y_i}_L⁰ of the references of the function y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh on the lattice I_h is achieved by solving homogeneous linear differential equations or difference equations of the given order n with constant but possibly unknown coefficients. Thus, it is shown that in the latter case the approximation problem also includes the identification problem. The analysis of its properties is the main subject of the article. The problem is set to find vector of coefficients  of difference equation Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, where k = 0,L − n. Coefficients  and initial conditions of the transient process by of this equation are optimized. The optimization purpose is to achieve the best approximation of the dynamic process y ∈ E being considered here. The approximation criterion is a minimum of the quantity ||y − ŷ||²_E. The variational problem under study is shown to be reduced to the problem of projecting vector y in E on the kernels of the difference operators with unknown coefficients  α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹, where  is a direction, S is a sphere or a hyperplane. The problem under study is shown to be related to the problems of the discretization and identifiability. In this case vector coordinates y ∈ E is an exact solution of differential equation on the lattice I_h and y = ŷ. The problem of the variational identification is compared with algebraic methods of identification. The orthogonal complement to the kernels of the difference operators are shown to always have Toeplitz basis. This results in fast projecting algorithms of computation. The problem of finding optimal vector α is shown to be reduced to the problem of the absolute minimization of the identification functional depending on the direction  in Eⁿ⁺¹. The iterative procedure of its minimization on a sphere with wide domain and high speed of convergence is presented here. The variational problem considered here can be applied in mathematical modeling for control problem and research purposes. On the finite intervals, for example, it is possible to use piecewise-linear dynamic approximations of the complex dynamic processes with difference and differential equations of the specified type.

Рассматриваются структурные, аппроксимативные и спектральные свойства нётеровых операторов индекса n и (−n), действующих между банаховыми пространствами B и D, где D изоморфно прямой сумме пространства B и конечномерного пространства E размерности n. Раскрыта роль теоремы С.М. Никольского о фредгольмовом операторе в изучении указанных свойств, а также в вопросе разрешимости уравнений с краевыми неравенствами. В случае сепарабельного гильбертова пространства B для однозначно разрешимых краевых задач предлагается основанная на разложении Э. Шмидта компактного оператора схема дискретизации, которая позволяет применить абстрактный вариант теоремы Рябенького–Филиппова о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости.

There are considered the structural, approximated and spectral properties of Fredholm operators of index n and (−n), acting between Banach spaces B and D, where D is isomorphic to the direct sum of B and finite–dimensional space E of dimension n. There is demonstrated the role of S.M. Nikol’skii theorem on Fredholm operator in the study of these properties as well as in the issue of solvability equations with boundary inequalities. For boundary value problems which are uniquely solvable, in the case of a separable Hilbert space B, based on Schmidt decomposition for a compact operator a scheme of discretization is proposed, and it allows application of an abstract version of Ryaben’kii–Filippov theorem on the relationship of approximation, stability and convergence.

Статья посвящена исследованию эффективности применения технологии параллельных вычислений на многопроцессорных системах с общей памятью для задач приближенного расчета множеств достижимости нелинейных управляемых систем в конечномерном евклидовом пространстве. В рамках исследования предложен параллельный алгоритм приближенного построения множеств достижимости, основанный на пошаговой вычислительной схеме с использованием узлов «кубических» сеток для аппроксимации множеств. Предложенный алгоритм предназначен для проведения расчетов на ЭВМ архитектуры SMP и решает вопросы разделения задачи на отдельные подзадачи, синхронизации работы параллельных частей алгоритма и равномерного распределения нагрузки между процессорами. Численное моделирование примеров на ЭВМ с двумя 4-ядерными процессорами с использованием предложенного в статье параллельного алгоритма показало высокую эффективность применения технологии параллельных вычислений для расчета множеств достижимости сеточными методами.

The paper investigates the effectiveness of shared memory parallel programming approach for constructing approximate attainable sets of nonlinear control systems in a finite-dimensional Euclidean space. In this study, we propose a parallel iterative algorithm for constructing approximate attainable sets employing a regular Cartesian grid for spatial discretization. The proposed algorithm has been designed for implementation on SMP systems and handles such issues as data decomposition, threads synchronization and distribution of work between multiple threads. Numerical experiments on a system with two quad-core processors confirmed a high efficiency of shared memory parallel programming approach for applying grid-based methods to construct approximate attainable sets.

В статье рассматривается класс линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с непрерывным и дискретным временем и дискретной памятью. В рамках этого класса предлагается явное представление для основных составляющих представления общего решения — фундаментальной матрицы и оператора Коши. Полученные представления даются в терминах параметров рассматриваемой системы и открывают возможность эффективного исследования общих краевых задач и задач управления относительно заданной конечной системы линейных целевых функционалов. При исследовании упомянутых задач для систем за пределами изучаемого класса рассматриваемые в работе системы с дискретной памятью могут играть роль модельных или аппроксимирующих систем и оказаться полезными при изучении грубых свойств систем с последействием, сохраняющихся при малых возмущениях параметров.

A class of linear functional differential systems with continuous and discrete times and discrete memory is considered. An explicit representation of the principal components to the general solution representation such as the fundamental matrix and the Cauchy operator is derived. The obtained representation is given in terms of the system parameters and opens a way towards efficient studying general linear boundary value problems and control problems with respect to a fixed collection of linear on-target functionals. In the study of the problems mentioned above outside the class under consideration, the systems with discrete memory can be employed as model or approximating ones. This can be useful as applied to systems with aftereffect under studying rough properties that hold under small perturbations of the parameters.

Рассматриваются постановка и тестовые решения задачи динамического взаимодействия твердых тел произвольной формы в рамках дискретно-элементного моделирования. При дискретизации используется описание тел произвольной формы, составленных из элементов-сфер, жестко связанных между собой. Агломераты строились на нескольких сетках с разной размерностью, что позволило оценить влияние параметров при построении агломератов сфер и гладкости получаемой поверхности. Представлена система уравнений движения агломерата сфер относительно глобальной системы координат, интегрирование которой выполняется на модифицированной схеме Верле. Силы взаимодействия между сферами определяются на основе контактной модели Герца-Миндлина с учетом вязкого демпфирования. Тестирование метода проводилось на задаче взаимодействия двух сфер. Вычислялись траектории движения сфер, представленные агломератом сферических частиц. Полученные результаты сравнивались со случаем движения и взаимодействия сфер в одночастичном приближении.

The paper deals with the statement of a problem of dynamic interaction of arbitrary solid bodies and its test solutions in the context of discrete element modeling. For discretization we use description of bodies with arbitrary shapes, composed of rigidly bound spheres. The clumps were built with different characteristics, which allowed to estimate their influence on the process of clump construction and the smoothness of obtained surface. A system of equations of motion relative to global axes for a clump of spheres is presented. The forces of interaction between the spheres are determined based on the Hertz-Mindlin contact model with due account for viscous damping. A problem of interaction of two spheres was chosen as a test case. Spheres' trajectories composed of clumps of spheres were calculated. The results were compared with the results for the case of motion and interaction of spheres in one-particle approximation.

На примере известной задачи о прокладке трассы изучаются возможности численного решения сосредоточенных задач оптимального управления методом параметризации управления с помощью линейной комбинации $\mu$ функций Гаусса. Напомним, что функция Гаусса (называемая также квадратичной экспонентой) - это функция вида $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\dfrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right]$. Основу метода составляет сведение исходной бесконечномерной задачи оптимизации к конечномерной задаче минимизации целевого функционала по параметрам аппроксимации управления с последующим применением численных методов конечномерной оптимизации. Данная статья опирается на исследование, проведенное автором ранее и касавшееся возможностей аппроксимации функций одного переменного на конечном отрезке линейной комбинацией функций Гаусса, и является его непосредственным продолжением. Прежде всего, мы доказываем утверждение об аппроксимации на любом конечном отрезке материнского вейвлета «мексиканская шляпа» линейной комбинацией двух квадратичных экспонент. Отсюда получаем теоретическое обоснование возможности эффективной аппроксимации функций одного переменного на любом конечном отрезке линейными комбинациями функций Гаусса. После этого мы проводим сравнение качества аппроксимации указанного вида с аппроксимацией по Котельникову на базе численных экспериментов. Затем приводится постановка задачи о прокладке трассы, а также результаты ее численного решения при различных способах параметризации управления, наглядно демонстрирующие преимущества предлагаемого способа, в частности устойчивость численного решения к погрешности вычисления параметров аппроксимации оптимального управления даже при использовании малого количества этих параметров.

On the example of well known problem of a road construction we study the opportunities of numerical solution for lumped optimal control problems by the method of control parametrization with the help of a linear combination of $\mu$ Gaussian functions. Recall that a Gaussian function (named also as quadratic exponent) is one defined as follows $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\dfrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right]$. The method is based on reduction of an original infinite dimensional optimization problem to finite dimensional minimization problem of a cost functional with respect to control approximation parameters. This paper is guided by the former author's research concerned the opportunities of approximation of one variable functions on a finite segment by a linear combination of $\mu$ Gaussian functions, and is to be regarded as its direct continuation. First of all, we prove an assertion concerning approximation on any finite segment for mother wavelet Mexican hat by a linear combination of two Gaussian functions. Hence, we obtain theoretical justification of the opportunity of an effective approximation for one variable functions on any finite segment with the help of linear combinations of Gaussian functions. After that, we give a comparison by quality of the approximation under study with the approximation in the style of Kotelnikov by means of numerical experiments. Then we give the road construction problem formulation and also the results of numerical solution for this problem which demonstrate obviously the advantages of our approach, in particular, a stability of numerical solution with respect to evaluation error of the approximation parameters for an optimal control, even with usage of small count of such parameters.

Рассматривается уравнение в частных производных первого порядка с эффектом наследственности:

$$ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + a \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = f ( x, t, u(x,t), u_t(x,\cdot)),$$ $$u_t(x,\cdot) = \{u(x,t+s), -\tau\leqslant s <0\}.$$

Для такого уравнения, с позиций принципа разделения конечномерной и бесконечномерной составляющих состояния, строятся сеточные методы: аналог семейства схем бегущего счета, аналог схемы Кранка-Николсон, метод аппроксимации на середину квадрата. Для учета эффекта наследственности применяются одномерная и двойная кусочно-линейная интерполяции и экстраполяция продолжением. Доказывается, что рассмотренные методы имеют порядки локальной погрешности: соответственно $O(h+\Delta)$, $O(h+\Delta^2)$ и $O(h^2+\Delta^2)$, где $h$ - шаг дискретизации по пространственной переменной, $\Delta$ - шаг дискретизации по временной переменной. Исследуются свойства двойной кусочно-линейной интерполяции. Используя результаты общей теории разностных схем, установлены условия устойчивости предложенных методов. С помощью вложения в общую схему численных методов для функционально-дифференциальных уравнений получены теоремы о порядках сходимости сконструированных алгоритмов. Приведены тестовые примеры по сравнению погрешностей методов.

We consider a first-order partial differential equation with heredity effect

$$ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + a \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = f ( x, t, u(x,t), u_t(x,\cdot)),$$ $$u_t(x,\cdot) = \{u(x,t+s), -\tau\leqslant s <0\}.$$

For such an equation we construct grid methods using the principle of separation of finite-dimensional and infinite-dimensional state components. These grid methods are: analog of running schemes family, analog of Crank-Nicolson scheme, an approximation method to the middle of the square. The one-dimensional and double piecewise linear interpolation and the extrapolation by continuation are applied in order to account the effect of heredity. It is shown that the considered methods have orders of a local error: $O (h +\Delta) $, $O (h +\Delta^2) $ and $O (h^2 +\Delta^2)$ respectively, where $h$ is the spatial discretization interval, $\Delta$ is the time discretization interval. Properties of double piecewise linear interpolation are investigated. Using the results of the general theory of differential schemes, stability conditions of the proposed methods are established. Including them in the general scheme of numerical methods for the functional-differential equations, theorems of orders of proposed algorithms convergence are received. Test examples comparing errors of methods are given.

В работе дан обзор проблем, приводящих к необходимости анализа моделей линейных и нелинейных динамических систем в форме стохастических дифференциальных уравнений со случайными запаздываниями различного типа, а также представлены некоторые известные методы решения этих задач. Далее в статье предлагаются новые подходы к приближенному анализу линейных и нелинейных стохастических динамических систем, изменения запаздываний которых описываются дискретной марковской цепью с непрерывным временем. Используемые подходы базируются на сочетании классического метода шагов, расширения пространства состояния стохастической системы и метода статистического моделирования (Монте-Карло). В рассматриваемом случае такой подход позволил упростить задачу и привести исходные уравнения к системам стохастических дифференциальных уравнений без запаздывания. Более того, для линейных систем получена замкнутая последовательность систем обыкновенных дифференциальных уравнений увеличивающейся размерности относительно функций условных математических ожиданий и ковариаций вектора состояния. Изложенная схема демонстрируется на примере стохастической системы второго порядка, изменения запаздывания которой описываются марковской цепью с пятью состояниями. Все расчеты и построение графиков проводились в среде математического пакета Mathematica с помощью программы, написанной на входном языке этого пакета.

The paper provides an overview of the problems that lead to a necessity for analyzing models of linear and nonlinear dynamic systems in the form of stochastic differential equations with random delays of various types as well as some well-known methods for solving these problems. In addition, the author proposes some new approaches to the approximate analysis of linear and nonlinear stochastic dynamic systems. Changes of delays in these systems are governed by discrete Markov chains with continuous time. The proposed techniques for the analysis of systems are based on a combination of the classical steps method, an extension of the state space of a stochastic system under examination, and the method of statistical modeling (Monte Carlo). In this case the techniques allow to simplify the task and to transfer the source equations to systems of stochastic differential equations without delay. Moreover, for the case of linear systems the author has obtained a closed sequence of systems with increasing dimensions of ordinary differential equations satisfied by the functions of conditional expectations and covariances for the state vector. The above scheme is demonstrated by the example of a second-order stochastic system. Changes of the delay in this system are controlled by the Markov chain with five states. All calculations and graphics were performed in the environment of the mathematical package Mathematica by means of a program written in the source language of the package.