Все выпуски

Изучение фазового перехода является одной из центральных проблем статистической механики. Он происходит, когда для модели существуют по крайней мере две различные меры Гиббса. Известно, что для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями при достаточно низких температурах существуют не более $2^{q}-1$ трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса. Для непрерывных гамильтонианов меры Гиббса образуют непустое, выпуклое, компактное подмножество в пространстве всех вероятностных мер. Экстремальные меры, которые соответствуют крайним точкам этого множества, определяют чистые фазы. Мы изучаем экстремальность трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли третьего порядка. Мы определяем области, в которых изучаемые трансляционно-инвариантные меры Гиббса для этой модели являются экстремальными или не являются экстремальными. Мы сводим описание мер Гиббса к решению нелинейного функционального уравнения, каждое решение которого соответствует одной предельной мере Гиббса.

One of the main issues in statistical mechanics is the phase transition phenomenon. It happens when there are at least two distinct Gibbs measures in the model. It is known that the ferromagnetic Potts model with $q$ states possesses, at sufficiently low temperatures, at most $2^{q}-1$ translation-invariant splitting Gibbs measures. For continuous Hamiltonians, in the space of probability measures, the Gibbs measures form a non-empty, convex, compact set. Extremal measures, which corresponds to the extreme points of this set, determines pure phases. We study the extremality of the translation-invariant splitting Gibbs measures for the ferromagnetic $q$-state Potts model on the Cayley tree of order three. We define the regions where the translation-invariant Gibbs measures for this model are extreme or not. We reduce description of Gibbs measures to solving a non-linear functional equation, each solution of which corresponds to one Gibbs measure.

Изучаются недавно введенные понятия меры устойчивости и меры неустойчивости разного типа: ляпуновского, перроновского или верхнепредельного. Эти понятия допускают естественную вероятностную интерпретацию, которая показывает зависимость конкретных свойств решений дифференциальной системы, начинающихся близко к ее нулевому решению, от сколь угодно малых возмущений начальных значений задачи Коши с фиксированным начальным моментом. В работе исследуется как раз зависимость самих этих мер от начального момента. Доказано, что эта зависимость полностью отсутствует для одномерных и автономных систем, а также для многих типов устойчивости или неустойчивости линейных систем. Кроме того, доказано, что крайние значения самих мер устойчивости или неустойчивости всегда инвариантны относительно выбора начального момента. Наконец, приведен пример системы, для которой эта зависимость, напротив, проявляется в максимально возможной степени.

The recently introduced concepts of stability measures and instability measures of different types are studied: Lyapunov, Perron or upper-limit. These concepts allow a natural probabilistic interpretation, which shows the dependence of specific properties of solutions of a differential system, starting close to its zero solution, on arbitrarily small perturbations of the initial values of the Cauchy problem with a fixed initial moment. The work examines precisely the dependence of these measures on the initial moment. It has been proved that this dependence is completely absent for one-dimensional and autonomous systems, as well as for many types of stability or instability of linear systems. Moreover, it has been proved that the extreme values of the measures of stability or instability themselves are always invariant with respect to the choice of the initial moment. Finally, an example of a system is given for which this dependence, on the contrary, manifests itself to the maximum possible extent.

В данной работе рассмотрены трансляционно-инвариантные меры Гиббса (ТИМГ) для HC-модели Блюма–Капеля в случае «обобщенный жезл» на дереве Кэли второго порядка. Найдено приближенное критическое значение $\theta_{cr}$ такое, что при $\theta \geq\theta_{cr}$ существует единственная ТИМГ, а при $0<\theta<\theta_{cr}$ существуют ровно три ТИМГ в случае «обобщенный жезл» для рассматриваемой модели. Кроме того, изучена задача (не)экстремальности для этих мер.

In this paper, we consider translation-invariant Gibbs measures (TIGM) for the Blume–Capel HC-model in the case of a “generalized wand” on a second-order Cayley tree. An approximate critical value of $\theta_{cr}$ is found such that for $\theta \geq\theta_{cr}$ there is only one TIGM, and for $0<\theta<\theta_{cr}$ there are exactly three TIGMs in the case of “generalized wand” for the model under consideration. In addition, the (non)extreme problem for these measures is studied.

Рассматриваются вопросы, связанные с представлением ультрафильтров измеримых пространств и конечно-аддитивных (0,1)-мер в интересах последующего применения в конструкциях расширений абстрактных задач о достижимости и экстремальных задач. Исследуются свойства, связанные с применением (обобщенных) декартовых произведений и их подпространств, а также свойство, имеющее смысл отождествимости ультрафильтров и конечно-аддитивных (0,1)-мер и реализуемое в виде гомеоморфизма естественных топологий.

We consider the questions connected with the representation of ultrafilters of measurable spaces and finitely additive (0,1)-measures for consequent application in extension constructions of abstract attainability problems and extremal problems. Properties connected with the application of (generalized) Cartesian products and their subspaces, and the property having the sense of the identification of ultrafilters and finitely additive (0,1)-measures and realized in the form of homeomorphism of natural topologies are investigated.