Все выпуски

Проблема голоморфного продолжения функций, определенных на границе области, в эту область актуальна в многомерном комплексном анализе. Она имеет долгую историю, начиная с работ Пуанкаре и Гартогса. В статье рассматриваются непрерывные функции, определенные на границе ограниченной области $ D $ в $ \mathbb C ^ n $, $ n> 1 $, с кусочно-гладкой границей и обладающие обобщенным граничным свойством Мореры вдоль семейства комплексных прямых, которые пересекают границу области. Свойство Мореры состоит в том, что интеграл заданной функции равен нулю по пересечению границы области с комплексной прямой. Показано, что такие функции голоморфно продолжаются в область $ D $. Для функций одной комплексной переменной свойство Мореры, очевидно, не влечет голоморфного продолжения. Поэтому эту проблему следует рассматривать только в многомерном случае $ (n> 1) $. Основным методом изучения таких функций является метод многомерных интегральных представлений, в частности интегрального представления Бохнера-Мартинелли.

The problem of holomorphic extension of functions defined on the boundary of a domain into this domain is actual in multidimensional complex analysis. It has a long history, starting with the proceedings of Poincaré and Hartogs. This paper considers continuous functions defined on the boundary of a bounded domain $ D $ in $ \mathbb C ^ n $, $ n> 1 $, with piecewise-smooth boundary, and having the generalized boundary Morera property along the family of complex lines that intersect the boundary of a domain. Morera property is that the integral of a given function is equal to zero over the intersection of the boundary of the domain with the complex line. It is shown that such functions extend holomorphically to the domain $ D $. For functions of one complex variable, the Morera property obviously does not imply a holomorphic extension. Therefore, this problem should be considered only in the multidimensional case $ (n> 1) $. The main method for studying such functions is the method of multidimensional integral representations, in particular, the Bochner-Martinelli integral representation.

Изучается и решается задача Дирихле для голоморфных функций в пространствах, описываемых поведением модуля непрерывности, удовлетворяющего заданными условиями.

We study and solve the Dirichlet problem for holomorphic functions in spaces, described by modulus of continuity with predefined conditions.

В данной статье рассматриваются непрерывные функции, заданные на границе ограниченной области $D$ в $\mathbb C^n$, $n>1$, и обладающие обобщенным граничным свойством Морера. Исследуется вопрос о существовании голоморфного продолжения таких функций в область $D$ для некоторых достаточных множеств $\Gamma$ комплексных прямых, пересекающих росток порождающего многообразия, лежащий внутри области.

This article considers continuous functions defined on the boundary of a bounded domain $D$ in $\mathbb C^n$, $n>1$, and having a generalized boundary Morera property. The question of the existence of a holomorphic continuation of such functions into the domain $D$ for some sufficient sets $\Gamma$ of complex lines intersecting the germ of the generating manifold lying inside the domain is investigated.

Решается задача Дирихле для голоморфных функций в пространствах с заданным модулем непрерывности: доказывается существование голоморфной в круге функции по предельным значениям ее действительной части на границе круге.

We study and solve the Dirichlet problem for holomorphic functions in spaces with a determined modulus of continuity: the existence of the function which is holomorphic inside a disk is proved by the limit values of its real part on the disk’s boundary.

Вопрос о возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на всей границе этой области, достаточно хорошо изучен. Представляет интерес задача описания функций, заданных на части границы, которые могут быть голоморфно продолжены в фиксированную область. В статье переформулируем рассматриваемую задачу: При выполнении каких условий можно голоморфно продолжить в матричный шар, функции заданных на части остова? Описаны области, в которые голоморфно продолжается интеграл типа Бохнера–Хуа Ло-кена для матричного шара. Получен основной результат нашей работы — критерий голоморфного продолжения в матричной шар функций, заданных на части остова матричного шара. Кратко излагаются доказательства нескольких основных результатов. Приводятся некоторые недавние достижения. Сформулированы нерешенные задачи. Результаты, полученные в этой статье, являются общими случаями результатов Л.А. Айзенберга, А.М. Кытманова, Г. Худайберганова.

The question of the possibility of holomorphic continuation into some domain of functions defined on the entire boundary of this domain has been well studied. The problem of describing functions defined on a part of the boundary that can be extended holomorphically into a fixed domain is attracting more interest. In this article, we reformulate the problem under consideration: Under what conditions can we extend holomorphically to a matrix ball the functions given on a part of its skeleton? We describe the domains into which the integral of the Bochner—Hua Luogeng type for a matrix ball can be extended holomorphically. As the main result, we present the criterion of holomorphic continuation into a matrix ball of functions defined on a part of the skeleton of this matrix ball. The proofs of several results are briefly presented. Some recent advances are highlighted. The results obtained in this article generalize the results of L.A. Aizenberg, A.M. Kytmanov and G. Khudayberganov.