Все выпуски

Рассматривается задача простого группового преследования группы из m убегающих (m ≥ 1) с равными возможностями. Говорят, что в задаче преследования одного убегающего (m = 1) происходит многократная поимка, если заданное количество преследователей ловят его, при этом моменты поимки могут не совпадать. В задаче об одновременной поимке одного убегающего требуется, чтобы моменты поимки совпадали. В работе введено понятие одновременной многократной поимки группы убегающих (m ≥ 2). Одновременная многократная поимка всей группы убегающих происходит, если в результате преследования происходит одновременная многократная поимка каждого убегающего, причем в один и тот же момент времени. В терминах начальных позиций участников получены необходимые и достаточные условия одновременной многократной поимки всей группы убегающих.

The present paper deals with the problem of simple pursuit of group of m evaders (m ≥ 1) with equal opportunities. We say that a multiple capture in the problem of pursuit of one evader (m = 1) holds if the specified number of pursuers catch him, possibly at different times. The problem of the simultaneous capture of one evader requires that capture moments coincide. We introduce the concept of multiple simultaneous capture of the whole group of evaders (m ≥ 2). We say that the simultaneous multiple capture of the whole group of evaders holds if the simultaneous multiple capture of every evader holds in the same time. We obtain necessary and sufficient conditions for simultaneous multiple capture of the whole group of evaders in terms of initial positions of the participants.

Рассматривается абстрактная  задача управления и ее релаксации, связанные с ослаблением ограничений на выбор управляющих программ. Исследуются соотношения, связывающие множества допустимых элементов исходной задачи и ее расширения. Получены условия, достаточные для устойчивости (с точностью до замыкания) достижимого множества невозмущенной задачи.

The abstract problem of control and its relaxations connected with a weakening of constraints on the choice of programmed strategies are considered. Relations connecting the sets of admissible elements of the initial problem and its extension are investigated. Conditions sufficient for the stability of the initial attainable set (with the exactness until a closure) are obtained.

Рассматривается задача преследования группы из m убегающих (m≥1) в конфликтно управляемом процессе с равными возможностями. Говорят, что в задаче преследования одного убегающего (m=1) происходит многократная поимка, если заданное количество преследователей ловят его, при этом моменты поимки могут не совпадать. В задаче об одновременной многократной поимке одного убегающего требуется, чтобы моменты поимки совпадали. Одновременная многократная поимка всей группы убегающих (m≥2) происходит, если в результате преследования происходит одновременная многократная поимка каждого убегающего, причем в один и тот же момент времени. В терминах начальных позиций участников получены необходимые и достаточные условия одновременной многократной поимки всей группы убегающих.

The present paper deals with the problem of pursuit of the group of m evaders (m≥1) in a conflict-controlled process with equal opportunities. We say that a multiple capture in the problem of pursuit of one evader (m=1) holds if the specified number of pursuers catch him, possibly at different times. The problem of the simultaneous multiple capture of one evader requires that capture moments coincide. We say that the simultaneous multiple capture of the whole group of evaders (m≥2) holds if the simultaneous multiple capture of every evader holds at the same time. We obtain necessary and sufficient conditions for simultaneous multiple capture of the whole group of evaders in terms of initial positions of the participants.

Рассматривается структурированная популяция, особи которой разделены на возрастные или типические группы, заданная нормальной автономной системой разностных уравнений. Для данной популяции исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на конечном или бесконечном промежутках времени. Для популяции, эксплуатируемой на конечном промежутке, описана стратегия промысла, при которой достигается наибольшее значение общей стоимости изымаемого ресурса. Если же добыча ресурса происходит на неограниченном промежутке, то определяется средняя временная выгода и вычисляется ее значение при стационарном режиме эксплуатации; рассматриваются случаи, когда система имеет асимптотически устойчивую неподвижную точку или устойчивый цикл. Также описана стратегия промысла, которая является оптимальной среди других способов эксплуатации; показано, что при определенных условиях она является стационарной или отличается от стационарной только значением управления в начальный момент времени. Результаты работы проиллюстрированы на примере двухвозрастной эксплуатируемой популяции, в которой промысловому изъятию подвержены особи или младшей, или обеих возрастных групп.

We consider the structured population which individuals are divided into age or typical groups, set by the normal independent system of difference equations. For the given population the problem of optimum harvesting of a renewed resource on finite or infinite time intervals is investigated. For the population maintained on a finite interval, we describe a craft strategy at which the greatest value of a total cost of a withdrawn resource is reached. If resource extraction occurs on an unlimited interval, we define average time profit and calculate its value at a stationary mode of operation; cases when the system has an asymptotically steady motionless point or a steady cycle are considered. A craft strategy which is optimum among other ways of operation is also described; it is shown, that under certain conditions it is stationary or differs from stationary only in value of control during the initial moment of time. The results of work are illustrated by an example of two-age exploited population in which individuals of either younger or both age groups are subject to trade.

Различные задачи управления пучками траекторий составляют важный объект изучения в современной математической теории управления. Такие задачи возникают, например, при изучении движения потока заряженных частиц, а также при наличии неполной информации о начальном состоянии управляемой системы. В настоящей статье для нелинейного управляемого объекта весьма общего вида на фиксированном отрезке времени $[0,T]$ рассматривается задача управления пучками траекторий при неодноточечном начальном множестве. На множестве достижимости в момент $T>0$ изучается задача максимизации заданной непрерывной функции. Эту задачу можно интерпретировать как задачу о разбросе траекторий управляемого объекта. Соответствующий максимум зависит от выбранного допустимого управления $u(\cdot )$. В статье обосновывается существование минимума на множестве допустимых управлений от этого максимума.

Various problems of control of trajectory bundles constitute an important object of study in modern mathematical control theory. Such problems arise, for example, in studying the motion of a flow of charged particles, and also in the presence of incomplete information about the initial state of the controlled system. In the present article, for a nonlinear controlled object of a quite general form on a fixed time interval $[0,T]$, the problem of control of trajectory bundles with a non-single-point initial set is considered. On the reachable set at the moment $T>0$, the problem of maximization of a given continuous function is studied. This problem can be interpreted as a problem on the spread of trajectories of the controlled object. The corresponding maximum depends on the chosen admissible control $u(\cdot )$. In the article, the existence of a minimum on the set of admissible controls from this maximum is substantiated.

Рассматривается стационарная управляемая система в конечномерном эвклидовом пространстве и на конечном промежутке времени. Изучается задача о сближении управляемой системы с компактным целевым множеством на заданном промежутке времени. Один из подходов к решению рассматриваемой задачи о сближении основан на выделении в пространстве позиций множества разрешимости, т.е. множества всех позиций системы, из которых, как из начальных, разрешима задача о сближении. Конструирование множества разрешимости - самостоятельная сложная и трудоемкая задача, которую удается точно решить лишь в редких случаях. В настоящей работе рассматриваются вопросы приближенного конструирования множества разрешимости в задаче о сближении нелинейной стационарной управляемой системы. Эта задача, как известно, тесно сопряжена с задачей конструирования интегральных воронок и трубок траекторий управляемых систем. Интегральные воронки управляемых систем можно приближенно конструировать по (временным) шагам как наборы соответствующих множеств достижимости, поэтому одним из основных элементов разрешающей конструкции в настоящей работе являются множества достижимости. В работе предлагается схема приближенного вычисления множества разрешимости задачи о сближении управляемой стационарной системы на конечном промежутке времени. В основе этой схемы лежит сведение к приближенному вычислению множеств разрешимости конечного числа более простых задач - задач о сближении с целевым множеством в фиксированные моменты времени из заданного временного промежутка. При этом моменты времени должны выбираться достаточно плотно в упомянутом промежутке времени. В работе проведено математическое моделирование задачи о сближении механической системы «Трансляционный осциллятор с ротационным актуатором». Представлено графическое сопровождение решения задачи.

A time-invariant control system on a finite time interval in the finite-dimensional Euclidean space is considered. We discuss a problem of guidance with a compact target set for a control system on a given time interval. One way to solve the considered guidance problem is based on finding a solvability set in the phase space, namely, a set of all system positions from which, as from the initial ones, the guidance problem is solvable. The construction of the solvability set is an independent time-consuming problem which rarely has an exact solution. In this paper we discuss the approximate construction of a solvability set in the guidance problem for a time-invariant nonlinear control system. It is well-known that this problem is closely connected with the problem of constructing integral funnels and trajectory tubes of control systems. Integral funnels of control systems can be approximately constructed step-by-step as sets of corresponding attainability sets, therefore, attainability sets are considered to be the basic elements of the solving construction in this paper. Here, we propose a scheme of the solvability set approximate construction in a guidance problem for a time-invariant control system on a finite time interval. The basis of this scheme is reduction to the solvability sets approximate calculation of a finite number of simpler problems, namely, problems of guidance with the target set at fixed time moments from the given time interval. Wherein, the moments of time have to be chosen quite tightly in the mentioned time interval. As an example, we provide mathematical modeling of the guidance problem of the control system named “Translational Oscillator with Rotating Actuator” as well as the graphical support of the problem solution.

В работе рассматривается сингулярное интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода, к которому методом тепловых потенциалов редуцируются некоторые граничные задачи теплопроводности в областях с границей, изменяющейся со временем. Особенность такого рода задач заключается в том, что область вырождается в точку в начальный момент времени. Соответственно, отличительной особенностью исследуемого интегрального уравнения является то, что интеграл от ядра, при стремлении верхнего предела интегрирования к нижнему не равен нулю. Данное обстоятельство не позволяет решить данное уравнение методом последовательных приближений. Построено общее решение соответствующего характеристического уравнения и методом равносильной регуляризации Карлемана–Векуа найдено решение полного интегрального уравнения. Показано, что соответствующее однородное интегральное уравнение имеет ненулевое решение.

In this paper, we consider a singular Volterra type integral equation of the second kind, to which some boundary value problems of heat conduction in domains with a boundary varying with time are reduced by the method of thermal potentials. The peculiarity of such problems is that the domain degenerates into a point at the initial moment of time. Accordingly, a distinctive feature of the integral equation under study is that the integral of the kernel, as the upper limit of integration tends to the lower one, is not equal to zero. This circumstance does not allow solving this equation by the method of successive approximations. We constructed the general solution of the corresponding characteristic equation and found the solution of the complete integral equation by the Carleman–Vekua method of equivalent regularization. It is shown that the corresponding homogeneous integral equation has a nonzero solution.

Изучаются недавно введенные понятия меры устойчивости и меры неустойчивости разного типа: ляпуновского, перроновского или верхнепредельного. Эти понятия допускают естественную вероятностную интерпретацию, которая показывает зависимость конкретных свойств решений дифференциальной системы, начинающихся близко к ее нулевому решению, от сколь угодно малых возмущений начальных значений задачи Коши с фиксированным начальным моментом. В работе исследуется как раз зависимость самих этих мер от начального момента. Доказано, что эта зависимость полностью отсутствует для одномерных и автономных систем, а также для многих типов устойчивости или неустойчивости линейных систем. Кроме того, доказано, что крайние значения самих мер устойчивости или неустойчивости всегда инвариантны относительно выбора начального момента. Наконец, приведен пример системы, для которой эта зависимость, напротив, проявляется в максимально возможной степени.

The recently introduced concepts of stability measures and instability measures of different types are studied: Lyapunov, Perron or upper-limit. These concepts allow a natural probabilistic interpretation, which shows the dependence of specific properties of solutions of a differential system, starting close to its zero solution, on arbitrarily small perturbations of the initial values of the Cauchy problem with a fixed initial moment. The work examines precisely the dependence of these measures on the initial moment. It has been proved that this dependence is completely absent for one-dimensional and autonomous systems, as well as for many types of stability or instability of linear systems. Moreover, it has been proved that the extreme values of the measures of stability or instability themselves are always invariant with respect to the choice of the initial moment. Finally, an example of a system is given for which this dependence, on the contrary, manifests itself to the maximum possible extent.

Проводится исследование динамической эволюции шести моделей рассеянных звездных скоплений по данным о фазовых координатах звезд, полученных при численном интегрировании уравнений движения звезд. Для этой цели используются фазовые координаты звезд для 100 равноотстоящих моментов времени от начального t=0 до t_m≅5.1τ_vr (τ_vr - начальное время бурной релаксации скопления). На этом интервале времени ошибки, связанные с округлением и экспоненциальным нарастанием возмущений в исходных координатах звезд, существенно не сказываются на статистических выводах о характере движения звезд скопления. Метод исследования основан на вычислениях взаимных корреляционных функций C_1,2=C_1,2(τ,r) (τ - временная задержка, r - расстояние между точками) для флуктуаций фазовой плотности и применении Фурье-преобразования функций C_1,2 для расчета спектра частот и дисперсионных соотношений. Анализ графиков функций C_1,2, спектров частот и дисперсионных кривых подтверждает существование в моделях волн фазовой плотности, позволяет установить полный спектр радиальных колебаний фазовой плотности, отделить устойчивые колебания от неустойчивых, рассчитать периоды колебаний фазовой плотности и инкременты нарастания неустойчивых колебаний фазовой плотности. Подтверждены теоретические оценки периодов известных неустойчивых гомологических колебаний ядер моделей скоплений. Указываются некоторые астрофизические приложения полученных результатов: возникновение иррегулярных структур в рассеянных скоплениях, слабая турбулентность в движениях звезд скоплений.

The investigation of dynamical evolution of 6 open cluster models is carried out on data about phase coordinates of stars received by numerical integration of stellar motion equations. To attain the aim the phase coordinates of stars for 100 equidistant moments of time from the initial t=0 to t_m≅5.1τ_vr (τ_vr is the initial time of cluster violent relaxation), are used. Over the interval of time the rounding-off errors and errors because of exponential growth of initial coordinates perturbations do not affect statistical conclusions about motion behavior of cluster stars. The investigation method is based on calculations of mutual correlation functions C_1,2=C_1,2(τ,r) (τ  is the time delay, r is the distance between the points) for phase density fluctuations and application of Fourier transformations of functions C_1,2 in order to calculate frequency spectra and dispersion relations. The analysis of graphics C_1,2, frequency spectra and dispersion curves confirms the existence of phase density waves in cluster models, allows to get a complete spectrum of phase density radial oscillations, to separate stable and unstable oscillations, to calculate the periods of phase density oscillations and increments of unstable phase density oscillations. The theoretical estimations of periods of known unstable homological core oscillations of cluster models are confirmed. Pointed out are some astrophysical applications of results received: the origin of irregular structures in open clusters, weak turbulence of cluster star motions.

Данная статья является продолжением работ Л.И. Родиной и Е.Л. Тонкова, в которых введено расширение понятия инвариантности множеств относительно управляемых систем и дифференциальных включений. Это расширение состоит в исследовании множеств, которые не являются инвариантными в «классическом» смысле, но обладают свойством статистической инвариантности, а также в изучении статистических характеристик множества достижимости управляемой системы.

В данной работе рассматриваются характеристики, связанные с инвариантностью заданного множества M(σ) относительно управляемой системы, которые отражают свойство равномерности пребывания множества достижимости системы в множестве M(σ) на конечном промежутке времени. Для управляемой системы со случайными коэффициентами получены оценки этих характеристик, выраженные в терминах функций Ляпунова, производной в силу дифференциального включения и динамической системы сдвигов. В частности, получены оценки, выполненные с вероятностью единица, для характеристик управляемой системы, которую будем называть системой с переключениями. Данную систему можно отождествить со стационарным случайным процессом, множество состояний которого конечно; для него заданы начальное вероятностное распределение и вероятности нахождения в каждом состоянии; длины промежутков между моментами переключения системы с одного состояния на другое являются случайными величинами с заданной функцией распределения. Рассматривается пример оценки исследуемых характеристик для линейной управляемой системы с переключениями.

This article is continuation of works of L.I. Rodina and E.L. Tonkov in which expansion of the concept of invariance for sets concerning control systems and differential inclusions is entered. This expansion consists in research of the sets which are not invariant in “classical’’ sense, but possess the property of statistical invariance, and also in studying of statistical characteristics for attainability set of control system.

We consider the characteristics connected with the invariance of the given set M(σ) with respect to the control system which display the property of uniformity of stay for the attainability set of the system in M(σ) on the finite time interval. We obtain estimates of these characteristics for systems with random coefficients in terms of Lyapunov functions, a derivative owing to differential inclusion and the dynamical system of shifts. In particular, we investigate the estimations with probability one for characteristics of control system which we will name a system with switchings. This system can be identified with a stationary random process whose set of states is finite; for this set there are given the initial probability distribution and the probabilities of finding in each state; the lengths of intervals between the moments of switching system from one state to another are random variables with a given distribution function. The example of estimation of the investigated characteristics for a linear control system with switchings is considered.