Все выпуски

Работа посвящена методу решения стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом. Задача фильтрации сформулирована в виде вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных функционалов. Для решения вариационного неравенства предлагается использовать итерационный метод расщепления.

The paper is devoted to a method of solving of stationary filtration problems of non-compressible fluid which follows the nonlinear multi-valued anisotropic law of filtration with limiting gradient. This problem mathematically is formulated in the form of variational inequality of the second kind in Hilbert space with inversely strongly monotone operator. The functional occurring in this variational inequality is a sum of several lower semi-continuous convex proper functionals. For solving the considered variational inequality the splitting method is offered.

Приводятся достаточные условия разрешимости нелинейных краевых задач для некоторых классов функционально-дифференциальных уравнений. Условия получены на основе редукции исходной задачи к уравнению с монотонным оператором.

Sufficient conditions of resolvability of nonlinear boundary value problems for some classes of functional differential equations are presented. These conditions have been obtained on the basis of reduction of original problem to the equation with a monotone operator.

Пусть n,m, ℓ, s ∈ N – заданные числа, П ⊂ Rⁿ – измеримое по Лебегу множество, X, Z – банаховы идеальные пространства измеримых на П функций. Рассматривается нелинейное операторное уравнение:

x = θ + AF[x], x ∈ X^ℓ, (1)

где A : Z^m → X^ℓ – линейный ограниченный оператор, F : X^ℓ → Z^m – некоторый оператор. Уравнение (1) является естественной формой описания широкого класса сосредоточенных и распределенных систем. Ранее В.П. Политюковым был предложен метод монотонизации для обоснования разрешимости уравнения вида (1) и получения поточечных оценок решения. Суть его состояла в том, что разрешимость уравнения (1) доказывалась (помимо прочих условий) для случая, когда I) оператор F допускал поправку вида G = λI до монотонного оператора F[x] = F[θ+x]+G[x] такую, что II) (I +AG)⁻¹A > 0 (λ > 0, I  тождественный оператор). Как видно из примеров, приведенных в данной статье, условия I) и II) могут противоречить друг другу, что сужает сферу применения метода. Основной результат статьи в том, что в случае оператора A, обладающего свойством вольтерровости, естественным для эволюционных уравнений, требование монотонизируемости I) можно заменить требованием оценки оператора F на некотором конусном отрезке сверху и снизу через линейный оператор G плюс фиксированный элемент. Доказывается, что для глобальной разрешимости начально-краевой задачи, связанной с полулинейным эволюционным уравнением, достаточно, чтобы аналогичная начально-краевая задача, связанная с линейным уравнением, полученным путем оценки правой части исходного полулинейного уравнения на некотором конусном отрезке, имела положительное решение. В качестве иллюстрации рассматривается применение указанных результатов к системе Гурса–Дарбу, задаче Коши для волнового уравнения и первой краевой задаче для уравнения диффузии.

Let  n,m, ℓ, s ∈ N be given numbers, П ⊂ Rⁿ be a set measurable by Lebesgue and  X, Z  be some Banach ideal spaces of functions measurable on . We consider a nonlinear operator equation of the form as follows:

x = θ + AF[x], x ∈ X^ℓ, (1)

where A : Z^m → X^ℓ is bounded linear operator, F : F : X^ℓ → Z^m is some operator. Equation (1) is a natural form of lumped and distributed parameter systems from a wide enough class. Formerly, by V.P. Polityukov it was suggested monotonization method for justification of solvability of equation (1) and obtaining pointwise estimations for solutions. The matter of this method consisted in that solvability of equation (1) was proved (besides other conditions) under following: I) operator F allows some correction of the form G = λI to monotone operator F[x] = F[θ+x]+G[x] such that II) (I +AG)⁻¹A > 0 (λ > 0, I is identity operator). As our examples show, conditions I) and II) may be contradictory to each other, that narrows a sphere of application of the method. The main result of the paper is that for the case of operator A, possessing the Volterra property, which is natural for evolutionary equations, the requirement I) of ability to be monotonized can be replaced by the requirement of some upper and lower estimates for operator F on some cone segment through linear operator G and additional fixed element. We prove that for global solvability of a boundary value problem associated with a semilinear evolutionary equation it is sufficient that analogous boundary value problem associated with linear equation, derived from the original equation by estimating of a right-hand side on some cone segment, have a positive solution. The application of results obtained is illustrated by Goursat–Darboux system, Cauchy problem associated with wave equation and first boundary value problem associated with diffusion equation.

Пусть $V$ — сепарабельное рефлексивное банахово пространство, непрерывно вложенное в гильбертово пространство $H$ и плотное в нем; $X=L_p(0,T;V)\cap L_{p_0}(0,T;H)$; $U$ — заданное множество управлений; $A\colon X\to X^*$ — заданный вольтерров оператор, радиально непрерывный, мотонный и коэрцитивный (вообще говоря, нелинейный). Для задачи Коши, связанной с управляемым эволюционным уравнением вида \[x^\prime+Ax=f[u](x),\quad x(0)=a\in H;\quad x\in W=\{ x\in X\colon x^\prime\in X^*\},\] где $u\in U$ — управление, $f[u]\colon \mathbf{C}(0,T;H)\to X^*$ — вольтерров оператор ($W\subset\mathbf{C}(0,T;H)$), доказана тотально (по множеству допустимых управлений) глобальная разрешимость при условии глобальной разрешимости некоторого функционально-интегрального неравенства в пространстве $\mathbb{R}$. Во многих частных случаях указанное неравенство может быть конкретизировано как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Фактически, развивается аналогичный результат, доказанный автором ранее для случая линейного оператора $A$ и $V=H=V^*$. Отдельно рассматриваются случаи компактного вложения пространств, усиления условия монотонности и совпадения тройки пространств $V=H=H^*$. В последних двух случаях доказывается также единственность решения. В первом случае применяется теорема Шаудера, в остальных — технология продолжения решения по времени (то есть продолжения вдоль вольтерровой цепочки). Приводятся конкретные примеры задания оператора $A$.

Let $V$ be a separable reflexive Banach space being embedded continuously in a Hilbert space $H$ and dense in it; $X=L_p(0,T;V)\cap L_{p_0}(0,T;H)$; $U$ be a given set of controls; $A\colon X\to X^*$ be a given Volterra operator which is radially continuous, monotone and coercive (and, generally speaking, nonlinear). For the Cauchy problem associated with controlled evolutionary equation as follows $$x^\prime+Ax=f[u](x),\quad x(0)=a\in H;\quad x\in W=\{x\in X\colon x^\prime\in X^*\},$$ where $u\in U$ is a control, $f[u]\colon \mathbf{C}(0,T;H)\to X^*$ is Volterra operator ($W\subset\mathbf{C}(0,T;H)$), we prove totally (with respect to a set of admissible controls) global solvability subject to global solvability of some functional integral inequality in the space $\mathbb{R}$. In many particular cases the above inequality may be realized as the Cauchy problem associated with an ordinary differential equation. In fact, a similar result proved by the author earlier for the case of linear operator $A$ and identity $V=H=V^*$ is developed. Separately, we consider the cases of compact embedding of spaces, strengthening of the monotonicity condition and coincidence of the triplet of spaces $V=H=H^*$. As to the last two cases, we prove also the uniqueness of the solution. In the first case we use Schauder theorem and in the last two cases we apply the technique of continuation of solution along with the time axis (i.e., continuation along with a Volterra chain). Finally, we give some examples of an operator $A$ satisfying our conditions.