Все выпуски

В 1883 г. французский математик Жозеф Луи Франсуа Бертран (1822-1900) построил модель ценовой конкуренции на олигопольном рынке, на котором фирмы конкурируют между собой, меняя цену продукции. Заметим, что такая модель не «блистала новизной», ибо ровно на 45 лет раньше тоже французский экономист, философ и математик Антуан Огюст Курно (1801-1877) в «Исследовании математических принципов теории богатства» в разделе 7 «О конкуренции производителей» рассмотрел частный случай олигополии – дуополию (при которой участвуют только два производителя). В ней уже математическая модель основывалась на том, что оба производителя выбирают объем поставляемой продукции, цена же варьируется в результате равновесия между спросом и предложением. Рыночная цена устанавливается на том же уровне, на котором покупателями будет предъявлен спрос на весь «выкинутый на рынок» товар. Однако Бертран основывался на более естественном поведении продавца, именно на выборе им цены, а не количества «выброшенного» на рынок товара, как у Курно.
Заметим, что покупатели обычно рассматривают продукцию одинакового назначения разных фирм как разные товары. Поэтому будем считать, что на рынок каждая фирма выходит со своим товаром, причем все эти товары взаимозаменяемы.
Математическая модель дуополии Бертрана представлена бескоалиционной игрой двух лиц в нормальной форме. Для нее формализуется два вида равновесия: по Бержу (РБ) и по Нэшу (РН).
Предполагается, что:
$a)$ максимальная цена и себестоимость у обоих игроков совпадают (что естественно для рынка одного товара);
$b)$ запрещена коалиция из двух игроков (в этом – бескоалиционный характер игры);
$c)$ цена больше себестоимости, ибо в противном случае продавцам (игрокам) вряд ли стоит появляться на рынке.
В предлагаемой читателю статье для почти всех значений параметров модели установлен конструктивный способ выбора конкретного равновесия (РБ или РН) в зависимости от установившейся на рынке максимальной цены продукта.

In 1883 the French mathematician J. Bertrand (1822-1900) constructed the model of price competition on oligopoly market in which firms compete between themselves changing the price of goods.
The mathematical model of Bertrand duopoly is represented by a non-cooperative game of two persons in normal form. Two equilibriums are formalized for it: Berge equilibrium (BE) and Nash equilibrium (NE).
It is assumed that
$a)$ maximal price and cost price of both players coincide (it's naturally for the market of one product);
$b)$ the coalition of two players is prohibited (this is non-cooperative character of the game);
$c)$ the price is higher than the cost price for otherwise the sellers (players) would hardly appear on the market.
In the present article for almost all values of parameters of the model (except the measure-null) the constructive method of the choice of concrete equilibrium (BE or NE) depending on the maximal price of the product established in the market is suggested.

В статье для игр в нормальной формой при интервальной неопределенности вводится концепция сильного коалиционного равновесия. Эта концепция основана на синтезе трех понятий: индивидуальной рациональности, коллективной рациональности для игр в нормальной форме без побочных платежей и коалиционной рациональности. Для простоты изложения, сильное коалиционное равновесие рассматривается для игр 4 лиц при неопределенности. Достаточные условия существования сильного коалиционного равновесия в чистых стратегиях устанавливаются с помощью седловой точки специального вида свертки Гермейра. Наконец, следуя подходу Бореля, Неймана и Нэша, доказана теорема существования сильного коалиционного равновесия в смешанных стратегиях при стандартных для теории игр условиях (компактность и выпуклость множеств стратегий игроков, компактность множества неопределенностей и непрерывность функций выигрыша).

The Strong Coalitional Equilibrium (SCE) is introduced for normal form games under uncertainty. This concept is based on the synthesis of the notions of individual rationality, collective rationality in normal form games without side payments, and a proposed coalitional rationality. For presentation simplicity, SCE is presented for 4-person games under uncertainty. Sufficient conditions for the existence of SCE in pure strategies are established via the saddle point of the Germeir's convolution function. Finally, following the approach of Borel, von Neumann and Nash, a theorem of existence of SCE in mixed strategies is proved under common minimal mathematical conditions for normal form games (compactness and convexity of players' strategy sets, compactness of uncertainty set and continuity of payoff functions).