Все выпуски

Рассматривается биркгофова интерполяция функции двух переменных многочленами степени $2k+1$ по совокупности двух переменных на треугольнике. Подобные оценки автоматически переносятся на оценки погрешности метода конечных элементов, с которым тесно связаны. Оценки погрешности аппроксимации для производных функции в предложенных конечных элементах зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок погрешности аппроксимации функции и ее частных производных. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция из заданного класса и существуют абсолютные положительные константы, не зависящие от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника справедливы оценки снизу. В данной работе для рассматриваемых интерполяционных условий предлагается набор конкретных функций, позволяющих получить соответствующие оценки погрешности для определенных частных производных.

The paper considers Birkhoff-type triangle-based interpolation of two-variable function by polynomials of $2k+1$ degree by set of two variables. Similar estimates are automatically transferred to error estimates of related finite element method. The approximation error estimates of derivatives for the given finite elements depend only on the decomposition diameter, and do not depend on triangulation angles. We show that obtained approximation error estimates for a function and its partial derivatives are unimprovable. Unimprovability is understood in a following sense: there exists a function from the given class and there exist absolute positive constants independent of triangulation such that for any nondegenerate triangle estimates from below are valid. In this work, a system of specific functions is offered for interpolation conditions. These functions allow to obtain corresponding error estimates for definite partial derivatives.

Изучаются свойства дискретной вариационной задачи динамической аппроксимации в комплексном евклидовом (L + 1)-мерном пространстве E. Она обобщает известные задачи среднеквадратической полиномиальной аппроксимации функций, заданных своими отсчетами в конечном интервале. В рассматриваемой задаче аппроксимация последовательности y = {y_i}_L⁰ отсчетов функции y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh на сетке I_h осуществляется решениями однородных линейных дифференциальных или разностных уравнений заданного порядка n с постоянными, но, возможно, неизвестными коэффициентами. Тем самым показано, что в последнем случае задача аппроксимации включает в себя и задачу идентификации. Анализ ее особенностей - основная тема статьи. Ставится задача нахождения вектора коэффициентов  разностного уравнения Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, где k = 0,L − n. Оптимизируются коэффициенты  и начальные условия переходного процесса y этого уравнения. Цель оптимизации - наилучшая аппроксимация исследуемого динамического процесса y ∈ E. Критерий аппроксимации  минимум величины ||y − ŷ||²_E. Показано, что изучаемая вариационная задача сводится к задачам проектирования в E вектора y на ядра разностных операторов с неизвестными коэффициентами α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹. Здесь α - направление, S - сфера или гиперплоскость. Показана связь изучаемой задачи с задачами дискретизации и идентифицируемости. Тогда координаты вектора y ∈ E есть точное решение дифференциального уравнения на сетке I_h и y = ŷ. Дано сравнение изучаемой задачи вариационной идентификации с алгебраическими методами идентификации. Показано, что ортогональные дополнения к ядрам разностных операторов всегда имеют теплицев базис. Это приводит к быстрым проекционным алгоритмам вычислений. Показано, что задача нахождения оптимального вектора α сводится к задаче безусловной минимизации функционала идентификации, зависящего от направления  в Eⁿ⁺¹. Предложена итерационная процедура его минимизации на сфере с широкой областью и высокой скоростью сходимости. Изучаемую вариационную задачу можно применять при математическом моделировании в управлении и научных исследованиях. При этом на конечных интервалах может использоваться, в частности, возможность кусочно-линейной динамической аппроксимации сложных динамических процессов разностными и дифференциальными уравнениями указанного типа.

Some properties of the discrete variational problem of the dynamic approximation in the complex Euclidean (L + 1)-dimensional space are studied here. It generalizes familiar problems of the mean square polynomial approximation of the functions given on the finite interval in accordance with their references. In the problem under consideration sequence approximation y = {y_i}_L⁰ of the references of the function y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh on the lattice I_h is achieved by solving homogeneous linear differential equations or difference equations of the given order n with constant but possibly unknown coefficients. Thus, it is shown that in the latter case the approximation problem also includes the identification problem. The analysis of its properties is the main subject of the article. The problem is set to find vector of coefficients  of difference equation Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, where k = 0,L − n. Coefficients  and initial conditions of the transient process by of this equation are optimized. The optimization purpose is to achieve the best approximation of the dynamic process y ∈ E being considered here. The approximation criterion is a minimum of the quantity ||y − ŷ||²_E. The variational problem under study is shown to be reduced to the problem of projecting vector y in E on the kernels of the difference operators with unknown coefficients  α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹, where  is a direction, S is a sphere or a hyperplane. The problem under study is shown to be related to the problems of the discretization and identifiability. In this case vector coordinates y ∈ E is an exact solution of differential equation on the lattice I_h and y = ŷ. The problem of the variational identification is compared with algebraic methods of identification. The orthogonal complement to the kernels of the difference operators are shown to always have Toeplitz basis. This results in fast projecting algorithms of computation. The problem of finding optimal vector α is shown to be reduced to the problem of the absolute minimization of the identification functional depending on the direction  in Eⁿ⁺¹. The iterative procedure of its minimization on a sphere with wide domain and high speed of convergence is presented here. The variational problem considered here can be applied in mathematical modeling for control problem and research purposes. On the finite intervals, for example, it is possible to use piecewise-linear dynamic approximations of the complex dynamic processes with difference and differential equations of the specified type.

Рассматриваются два способа биркгофовой интерполяции функции двух переменных многочленами четвертой степени на треугольнике для метода конечных элементов. Оценки погрешности для предложенных элементов зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок.

The paper considers two methods of Birkhoff-type triangle-based interpolation of two-variable function by fourth-degree polynomials for the finite element method. The error estimates for the given elements depend only on the decomposition diameter, and do not depend on triangulation angles. We show that the estimates obtained are unimprovable.

Рассматриваются несколько способов биркгофовой интерполяции функции двух переменных многочленами пятой степени на треугольнике. Подобные оценки автоматически переносятся на оценки погрешности метода конечных элементов, с которым тесно связаны. Оценки погрешности для предложенных элементов зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция из заданного класса и существуют абсолютные положительные константы, не зависящие от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника справедливы оценки снизу.

The paper considers several methods of Birkhoff-type triangle-based interpolation of two-variable function by fifth-degree polynomials. Similar estimates are automatically transferred to error estimates of related finite element method. The error estimates for the given elements depend only on the decomposition diameter, and do not depend on triangulation angles. We show that the estimates obtained are unimprovable. Unimprovability is understood in a following sense: there exists function from the given class and there exist absolute positive constants independent of triangulation such that for any nondegenerate triangle estimates from below are valid.

Рассматриваются два способа биркгофовой интерполяции функции двух переменных многочленами второй степени на треугольнике для метода конечных элементов. Оценки погрешности для одного из предложенных параболических элементов зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок.

This paper is devoted to analysing the interpolation of the function of two variables by a parabolic polynomial on a triangle for the finite element method. The estimates of error for a given piecewise parabolic polynomial depend only on the diameter of restricted partition and don't depend on the angles of triangulation.

Рассматривается биркгофова интерполяция функции двух переменных многочленами шестой степени на треугольнике. Подобные оценки автоматически переносятся на оценки погрешности метода конечных элементов, с которым тесно связаны. Оценки погрешности для предложенных элементов зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция из заданного класса и существуют абсолютные положительные константы, не зависящие от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника справедливы оценки снизу.

The paper considers Birkhoff-type triangle-based interpolation to a two-variable function by sixth-degree polynomials. Similar estimates are automatically transferred to error estimates of related finite element method. The error estimates for the given elements depend only on the decomposition diameter, and do not depend on triangulation angles. We show that the estimates obtained are unimprovable. Unimprovability is understood in a following sense: there exists function from the given class and there exist absolute positive constants independent of triangulation such that estimates from below are valid for any nondegenerate triangle.