Все выпуски

Рассматривается биркгофова интерполяция функции двух переменных многочленами степени $2k+1$ по совокупности двух переменных на треугольнике. Подобные оценки автоматически переносятся на оценки погрешности метода конечных элементов, с которым тесно связаны. Оценки погрешности аппроксимации для производных функции в предложенных конечных элементах зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок погрешности аппроксимации функции и ее частных производных. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция из заданного класса и существуют абсолютные положительные константы, не зависящие от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника справедливы оценки снизу. В данной работе для рассматриваемых интерполяционных условий предлагается набор конкретных функций, позволяющих получить соответствующие оценки погрешности для определенных частных производных.

The paper considers Birkhoff-type triangle-based interpolation of two-variable function by polynomials of $2k+1$ degree by set of two variables. Similar estimates are automatically transferred to error estimates of related finite element method. The approximation error estimates of derivatives for the given finite elements depend only on the decomposition diameter, and do not depend on triangulation angles. We show that obtained approximation error estimates for a function and its partial derivatives are unimprovable. Unimprovability is understood in a following sense: there exists a function from the given class and there exist absolute positive constants independent of triangulation such that for any nondegenerate triangle estimates from below are valid. In this work, a system of specific functions is offered for interpolation conditions. These functions allow to obtain corresponding error estimates for definite partial derivatives.

Рассматриваются два способа биркгофовой интерполяции функции двух переменных многочленами четвертой степени на треугольнике для метода конечных элементов. Оценки погрешности для предложенных элементов зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок.

The paper considers two methods of Birkhoff-type triangle-based interpolation of two-variable function by fourth-degree polynomials for the finite element method. The error estimates for the given elements depend only on the decomposition diameter, and do not depend on triangulation angles. We show that the estimates obtained are unimprovable.

Рассматриваются несколько способов биркгофовой интерполяции функции двух переменных многочленами пятой степени на треугольнике. Подобные оценки автоматически переносятся на оценки погрешности метода конечных элементов, с которым тесно связаны. Оценки погрешности для предложенных элементов зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция из заданного класса и существуют абсолютные положительные константы, не зависящие от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника справедливы оценки снизу.

The paper considers several methods of Birkhoff-type triangle-based interpolation of two-variable function by fifth-degree polynomials. Similar estimates are automatically transferred to error estimates of related finite element method. The error estimates for the given elements depend only on the decomposition diameter, and do not depend on triangulation angles. We show that the estimates obtained are unimprovable. Unimprovability is understood in a following sense: there exists function from the given class and there exist absolute positive constants independent of triangulation such that for any nondegenerate triangle estimates from below are valid.

Рассматриваются два способа биркгофовой интерполяции функции двух переменных многочленами второй степени на треугольнике для метода конечных элементов. Оценки погрешности для одного из предложенных параболических элементов зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок.

This paper is devoted to analysing the interpolation of the function of two variables by a parabolic polynomial on a triangle for the finite element method. The estimates of error for a given piecewise parabolic polynomial depend only on the diameter of restricted partition and don't depend on the angles of triangulation.

Рассматривается биркгофова интерполяция функции двух переменных многочленами шестой степени на треугольнике. Подобные оценки автоматически переносятся на оценки погрешности метода конечных элементов, с которым тесно связаны. Оценки погрешности для предложенных элементов зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция из заданного класса и существуют абсолютные положительные константы, не зависящие от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника справедливы оценки снизу.

The paper considers Birkhoff-type triangle-based interpolation to a two-variable function by sixth-degree polynomials. Similar estimates are automatically transferred to error estimates of related finite element method. The error estimates for the given elements depend only on the decomposition diameter, and do not depend on triangulation angles. We show that the estimates obtained are unimprovable. Unimprovability is understood in a following sense: there exists function from the given class and there exist absolute positive constants independent of triangulation such that estimates from below are valid for any nondegenerate triangle.

Исследовано однопараметрическое семейство квадратичных интерполяционных многочленов нескольких переменных. В роли параметра выступает точка n-мерного пространства. Исследованы вопросы существования и единственности интерполяционных многочленов. Для многочленов получено явное представление (в барицентрической системе координат). Показано, что лишь для одного-единственного параметра имеет место непрерывная стыковка интерполяционных многочленов, построенных на элементах триангуляции специального вида. Для интерполяционного многочлена, соответствующего данному параметру, получено явное представление в декартовой системе координат. Применение интерполяции с данным параметром позволяет осуществлять квадратичную сплайн-аппроксимацию функций многих переменных (одновременно с аппроксимацией поля градиента этой функции).

The one-parametrical family of quadratic interpolated polynomials of several variables is investigated. In a role of parameter the point of n-dimensional space acts. Questions of existence and uniqueness interpolated polynomials are investigated. For polynomials the obvious representation (in barycentric system of coordinates) is proved. It is shown that only for the unique parameter continuous docking of interpolated polynomials constructed on elements of a triangulation of a special type takes place. For interpolated polynomial appropriating the given parameter the obvious representation in the Cartesian system of coordinates is proved. Application of interpolation with the given parameter makes possible quadratic spline-approximation of functions of many variables (at the same time with approximation of a field of a gradient of this function).

Приведены обоснование и процедура построения специальных многомерных сплайнов произвольной степени лагранжевого типа, названных λ-сплайнами. Они строятся из многомерных интерполяционных алгебраических многочленов фиксированной степени, заданных на симплексах специальной триангуляции области определения исходной функции.

We give the basis and procedure of construction of special multivariate splines of any degree of Lagrange’s type, named by λ-splines. They are under construction from multivariate interpolated algebraic polynomials of the fixed degree set on simplexes of special triangulation of a range of definition of initial function.