Все выпуски

В данной работе рассматривается система Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником. Показано, что система Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником может быть проинтегрирована методом обратной задачи рассеяния. Для решения рассматриваемой задачи используются прямая и обратная задачи рассеяния уравнения Штурма–Лиувилля с потенциалом, зависящим от энергии. Определена временная эволюция данных рассеяния для уравнения Штурма–Лиувилля с энергозависимыми потенциалами, связанными с решением системы Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником. Полученные равенства полностью определяют данные рассеяния при любом $t$, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши для системы Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником.

In this study we consider the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source. We show that the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source can be integrated by the method of inverse scattering theory. For a solving the problem under consideration, we use the direct and inverse scattering problem of the Sturm–Liouville equation with an energy-dependent potential. The time evolution of the scattering data for the Sturm–Liouville equation with an energy-dependent potentials associated with the solution of the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source is determined. The obtained equalities completely determine the scattering data for any $t$, which makes it possible to apply the method of the inverse scattering problem to solve the Cauchy problem for the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source.

Рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе, являющийся гамильтонианом электрона, в приближении сильной связи в системе, состоящей из квантовой проволоки и двух внедренных квантовых точек. Данный оператор описывает двухбарьерную резонансную наноструктуру, причем один из барьеров представляет собой нелокальный потенциал. Описан существенный и абсолютно непрерывный спектр оператора. Изучается задача рассеяния в стационарной постановке для двух возможных направлений распространения частицы. Найдены условия полного отражения и полного прохождения.

We consider a discrete Schrödinger operator on the graph, which is the Hamiltonian in the tight-binding approach of an electron in the system consisting of a quantum wire, and two embedded quantum dots. This operator describes the double-barrier resonant nanostructure, in which one of the barriers is a non-local potential. The essential and absolutely continuous spectra of this operator are described. We study the scattering problem in the stationary approach for two possible directions of particles propagation. The conditions of total reflection and total transmission are found.

В современной физической литературе неоднократно возникала потребность в формулах, позволяющих в квантовой одномерной задаче рассеяния свести вычисление вероятности отражения (прохождения) для потенциала, состоящего из нескольких «барьеров», к вероятностям отражения и прохождения через эти «барьеры». В настоящей работе исследуется задача рассеяния для разностного оператора Шрёдингера с потенциалом, являющимся суммой N функций (описывающих «барьеры» или «слои») с попарно непересекающимися носителями. С помощью уравнения Липпмана-Швингера доказана теорема, позволяющая вычисление амплитуд отражения и прохождения для данного потенциала свести к вычислению амплитуд отражения и прохождения для слагаемых. Для N=2 получены простые явные формулы, осуществляющие такое сведение. Рассмотрены частные случаи четного первого барьера и двух одинаковых четных (после соответствующих сдвигов) барьеров. Разумеется, аналогичные результаты справедливы и для вероятностей отражения и прохождения. Получено простое уравнение для нахождения резонансов двухбарьерной структуры в терминах амплитуд для каждого из двух барьеров.

В статье также приведена иная схема доказательства полученных результатов, основанная на разложении в ряд T-оператора, позволяющая обосновать физические представления о рассеянии на многослойной структуре как о многократном рассеянии на отдельно взятых слоях. При доказательстве утверждений используется известный прием сведения уравнения Липпмана-Швингера к «модифицированному» уравнению в гильбертовом пространстве, что позволяет, в свою очередь, воспользоваться теорией Фредгольма. Конечно, все полученные результаты остаются справедливыми и для «непрерывного» оператора Шрёдингера, а выбор дискретного подхода обусловлен его растущей популярностью в квантовой теории твердого тела.

In modern physics literature, the need for formulas that permit, in a quantum one-dimensional problem, to reduce a calculation of the reflection (transmission) probability for the potential consisting of some “barriers” to the reflection and transmission probabilities over these “barriers” repeatedly occurred. In this paper, we study the scattering problem for the difference Schrodinger operator with the potential which is the sum of N functions (describing the “barriers” or “layers”) with pairwise disjoint supports. With the help of the Lippmann-Schwinger equation, we proved the theorem which reduces the calculation of the reflection and transmission amplitudes for this potential, to the calculation of the ones for these barriers. For N=2 simple explicit formulas which realized this reduction were obtained. The particular cases for the even first barrier and two identical even (after appropriate shifts) barriers were studied. Of course, the similar results hold for the reflection (transmission) probabilities. We obtained the simple equation for the double-barrier structure resonances in terms of the amplitudes of each of the two barriers.

In the paper, we also present the alternative scheme of the proof of the obtained results which are based on the series expansion of the T-operator. This approach substantiates the physical understanding of the scattering by a multilayer structure as multiple scattering on separate layers. To proof the theorems, the known method of reduction of the Lippmann-Schwinger equation to the “modified” equation in a Hilbert space is used. Of course, all the results remain valid for the “continuous” Schrodinger operator, and the choice of the discrete approach is due to its growing popularity in the quantum theory of solids.

Работа посвящена интегрированию модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза с зависящими от времени коэффициентами, дополнительным членом и интегральным источником в классе быстроубывающих функций с использованием метода обратной задачи рассеяния. В данной работе рассматривается случай, когда оператор Дирака, входящий в пары Лакса, не является самосопряженным, поэтому собственные значения оператора Дирака могут быть кратными. Получена эволюция данных рассеяния для несамосопряженного оператора Дирака, потенциал которого представляет собой решение модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза с зависящими от времени коэффициентами, с дополнительным членом и с интегральным источником класса быстроубывающих функций. Приведен пример, иллюстрирующий применение полученных результатов.

The work is devoted to the integration of the modified Korteweg–de Vries equation with time-dependent coefficients, an additional term and an integral source in the class of rapidly decreasing functions using the inverse scattering problem method. In this paper, we consider the case when the Dirac operator included in the Lax pairs is not self-adjoint, therefore the eigenvalues of the Dirac operator can be multiples. The evolution of scattering data is obtained for the non-self-adjoint Dirac operator, the potential of which is a solution of the modified Korteweg–de Vries equation with time-dependent coefficients, with an additional term and with an integral source of a class of rapidly decreasing functions. An example is given to illustrate the application of the results obtained.

В работе рассмотрена задача о движении в поле силы тяжести твердого тела, обладающего формой кругового цилиндра, взаимодействующего с N точечными вихрями, в идеальной жидкости. В общем случае циркуляция жидкости вокруг цилиндра предполагается отличной от нуля. Уравнения движения системы представлены в гамильтоновой форме. Указаны первые интегралы системы - горизонтальная и вертикальная компоненты импульса, - последний из которых, очевидно, неавтономный. Основное внимание сконцентрировано на исследовании конфигурации, аналогичной задаче Фёппля: цилиндр движется в поле тяжести в сопровождении вихревой пары (N=2). В этом случае циркуляция вокруг цилиндра равна нулю, а уравнения движения рассматриваются на некотором инвариантном многообразии. Показано, что, в отличие от конфигурации Фёппля, в поле силы тяжести относительное равновесие вихрей невозможно. Рассмотрена ограниченная задача: цилиндр предполагается достаточно тяжелым, вследствие чего вихри не оказывают влияния на его падение. Как полная, так и ограниченная задача исследована численно, в результате отмечено качественное сходство поведения решений: в большинстве случаев взаимодействие вихревой пары и цилиндра носит характер рассеяния.

We consider a system which consists of a circular cylinder subject to gravity interacting with N vortices in a perfect fluid. Generically, the circulation about the cylinder is different from zero. The governing equations are Hamiltonian and admit evident integrals of motion: the horizontal and vertical components of the momentum; the latter is obviously non-autonomous. We then focus on the study of a configuration of the Foppl type: a falling cylinder is accompanied with a vortex pair (N=2). Now the circulation about the cylinder is assumed to be zero and the governing equations are considered on a certain invariant manifold. It is shown that, unlike the Foppl configuration, the vortices cannot be in a relative equilibrium. A restricted problem is considered: the cylinder is assumed to be sufficiently massive and thus its falling motion is not affected by the vortices. Both restricted and general problems are studied numerically and remarkable qualitative similarity between the problems is outlined: in most cases, the vortex pair and the cylinder are shown to exhibit scattering.

Последние 15 лет в физической литературе активно изучаются майорановские локализованные состояния (МЛС) и сопутствующие их возникновению явления, такие, как изменение кондактанса и эффект Джозефсона, что обусловлено вероятным применением МЛС при создании квантового компьютера. В статье изучены собственные функции одномерного оператора Боголюбова-де Жена с дельтаобразным потенциалом в нуле, описывающие локализованные состояния с энергией в лакуне спектра (сверхпроводящей щели). Найдены вероятности прохождения в задаче рассеяния для этого оператора, когда энергии близки к границе сверхпроводящей щели. Эти задачи исследовались как для единого на всей прямой сверхпроводящего порядка, определяемого вещественной константой $\Delta,$ так и для сверхпроводящего порядка, определяемого функцией $\Delta \theta (-x)+\Delta e^{i\varphi} \theta (x)$ для $\varphi=0,\pi$ (т.е. для нулевого сверхпроводящего тока и тока, близкого к критическому). Используемый гамильтониан можно рассматривать как простейшую модель перехода Джозефсона. Доказано, что в обоих случаях существуют два МЛС, но лишь при определенных значениях параметров, т.е. МЛС неустойчивы. При этом вероятность прохождения равна нулю в обоих случаях.

For the last 15 years, Majorana bounded states (MBSs) and associated phenomena, such as variation of conductance and the Josephson effect, have been actively studied in the physical literature. Research in this direction is motivated by a highly probable use of MBSs in quantum computing. The article studies the eigenfunctions of the one-dimensional Bogolyubov-de Gennes operator with a delta-shaped potential at zero, describing localized states with energy in the spectral gap (superconducting gap). The transmission probabilities are found in the scattering problem for this operator, when the energies are close to the boundary of the superconducting gap. These problems are studied both for a superconducting order that is the only one on the whole straight line and is defined by the real constant $\Delta,$ and for a superconducting order defined by the function $\Delta\theta(-x)+\Delta e^{i\varphi}\theta(x)$ for $\varphi=0,\pi$ (i.e., for zero superconducting current and for current close to critical). The Hamiltonian used can be considered as the simplest model of the Josephson junction. It is proved that in both cases there are two MBSs, but with certain values of the parameters, i.e., MBSs are unstable. Moreover, the probability of passage is zero in both cases.

В статье рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе с вершинами на двух пересекающихся прямых, возмущенный убывающим потенциалом. Данный оператор является гамильтонианом электрона вблизи структуры, образованной квантовой точкой и выходящими из нее четырьмя квантовыми проволоками в приближении сильной связи, широко используемом в настоящее время в физической литературе для изучения подобных наноструктур. Доказаны существование и единственность решения соответствующего уравнения Липпмана–Швингера, для решения получена асимптотическая формула. Изучена нестационарная картина рассеяния. Исследуется задача рассеяния для данного оператора в случае малого потенциала, а также в случае, когда малы как потенциал, так и скорость квантовой частицы. Получены асимптотические формулы для вероятностей распространения частицы во всех возможных направлениях.

The paper considers the discrete Schrödinger operator on a graph with vertices on two intersecting lines, which is perturbed by a decreasing potential. This operator is the Hamiltonian of an electron near a structure formed by a quantum dot and four outgoing quantum wires in the tight-binding approximation widely used in the physics literature for studying such nanostructures. We have proved the existence and uniqueness of the solution of the corresponding Lippmann-Schwinger equation and obtained the asymptotic formula for it. The non-stationary scattering picture has been studied. The scattering problem for the above operator in the case of a small potential, and also in the case of both a small potential and small velocity of a quantum particle, is investigated. Asymptotic formulas for the probabilities of the particle propagation in all possible directions have been obtained.

В настоящее время в физической литературе активно изучаются майорановские локализованные состояния (МЛС) и сопутствующие их возникновению явления, такие как изменение кондактанса, что обусловлено весьма вероятным применением МЛС в квантовых вычислениях. Несмотря на актуальность, строгого математического исследования спектральных свойств и рассеяния для одночастичного оператора Боголюбова-де Жена $H,$ обычно используемого для исследования МЛС, почти не проводилось; методы, предложенные в статье, позволяют получить математически и физически интересные результаты. В работе математически строго изучен вопрос существования МЛС (т.е. существования нулевого собственного значения) для гамильтониана Боголюбова-де Жена в случае бесконечной одномерной $p$-волновой сверхпроводящей структуры при наличии потенциала; получены условия существования МЛС. Также изучена задача рассеяния для оператора Боголюбова-де Жена с потенциалом. При решении данных задач используется функция Грина оператора $H$, которая также найдена в статье.

At the present time, the Majorana bounded states (MBSs) and associated phenomena, such as the variation of the conductance, are being actively studied in the physical literature because of the highly probable use of MBSs in quantum computations. In spite of the urgency, a rigorous mathematical study of the spectral properties and scattering for the one-particle Bogolyubov-de Gennes operator $H,$ commonly used for investigation of MBS's, has almost never been carried out. The methods proposed in the article allow one to obtain mathematically and physically interesting results. In this paper, we study the problem of the existence of MBSs (that is, the existence of a zero eigenvalue) for the Bogolyubov-de Gennes Hamiltonian in the case of an infinite one-dimensional superconducting structure in the presence of a potential. Conditions for the existence of MBSs are obtained. The scattering problem for the Bogolyubov-de Gennes operator with a potential is studied. The Green's function of the operator $H$ used in solving these problems is also found.

Рассматривается гамильтониан Боголюбова – де Жена, возмущенный малым потенциалом, описывающий квазичастицы вида «электрон плюс дырка», в частности андреевские локализованные состояния (АЛС) в одномерной сверхпроводящей структуре при наличии примеси. Интерес к упомянутым квазичастицам резко возрос в последние 15-20 лет благодаря открытию в топологических сверхпроводниках майорановских локализованных состояний (МЛС). МЛС представляют собой устойчивые к внешним воздействиям нейтральные квазичастицы с нулевой энергией, весьма перспективные для будущего использования в квантовых вычислениях. Исследование возникновения и поведения, в зависимости от параметров системы и топологической фазы, АЛС, описываемых собственными функциями гамильтониана Боголюбова – де Жена, интересно как с математической точки зрения, в сравнении с обычным оператором Шрёдингера, так и с физической, поскольку может прояснить предпосылки возникновения МЛС в топологически нетривиальной фазе и майораноподобных состояний (часто играющих роль МЛС) в топологически тривиальной фазе. Изучение рассеяния интересно тем, что вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер пропорциональна кондактансу, который можно измерить в эксперименте, что в принципе дает возможность связать величину кондактанса с наличием АЛС. В статье найдены условия возникновения собственных значений (энергий квазичастиц) в сверхпроводящей щели, имеющейся в непрерывном спектре гамильтониана, а также их зависимость от параметров как в топологически нетривиальной, так и в топологически тривиальной фазах. Кроме того, исследована задача рассеяния для энергий вблизи границы щели; в частности, найдена вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер как функция от параметров системы.

We consider the Bogolyubov – de Gennes Hamiltonian perturbed by a small potential, which describes quasiparticles of electron-hole type, in particular, Andreev bound states (ABSs) in a one-dimensional superconducting structure in the presence of an impurity. In the last 15-20 years, interest in such quasiparticles has increased sharply due to the discovery of Majorana bound states (MBSs) in topological superconductors. MBSs are neutral zero-energy quasiparticles resistant to external influences, which are very promising for future use in quantum computing. The study of the appearance and behavior, depending on the system parameters and the topological phase, of ABSs described by the eigenfunctions of the Bogolyubov – de Gennes Hamiltonian, is interesting both from a mathematical point of view, in comparison with the usual Schrödinger operator, and from a physical point of view, since it can clarify prerequisites for the occurrence of MBSs in the topologically nontrivial phase and marjoram-like states (often playing the role of MBSs) in the topologically trivial phase. The study of scattering is interesting due to the fact that the probability of a quasiparticle transmission through a potential barrier is proportional to the conductance, that can be measured experimentally, which in principle makes it possible to relate the conductance to the presence of ABS. In the paper, the conditions for the appearance of eigenvalues (energies of quasiparticles) in the superconducting gap in the continuous spectrum of the Hamiltonian, as well as their dependence on the parameters in both the topological nontrivial and topologically trivial phases, are found. In addition, the scattering problem for energies near the edge of the gap has been investigated, in particular, the probability of a quasiparticle transmission through a potential barrier as a function of system parameters has been found.

В работе выводится эволюция данных рассеяния спектральной задачи, связанной с нелинейным эволюционным уравнением Гарри Дима с самосогласованным источником интегрального типа. Полученные равенства полностью определяют данные рассеяние при любом $t$, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши для уравнения Гарри Дима с источником интегрального типа.

In the work, we deduce the evolution of scattering data for a spectral problem associated with the nonlinear evolutionary equation of Harry Dym with a self-consistent source of integral type. The obtained equalities completely determine the scattering data for any $t$, which makes it possible to apply the method of the inverse scattering problem to solve the Cauchy problem for the Harry Dym equation with an integral type source.