Все выпуски

В работе рассматривается краевая задача для нелинейного эволюционного уравнения в частных производных, приведенная в перенормированном виде. Данная краевая задача возникает в механике роторных систем и описывает поперечные колебания вращающегося ротора постоянного сечения из вязкоупругого материала, концы которого шарнирно закреплены. Изучен вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия, найдено критическое значение скорости вращения ротора, при превышении которого возникают незатухающие колебания. Найдены точные решения изучаемой краевой задачи в виде одномодовых по пространственной переменной и периодической по времени функций. Выведены условия устойчивости таких решений, а также в ряде случаев дан анализ условий устойчивости. В работе показано отсутствие многомодовых периодических по времени решений. Проанализированы базовые, но важные с прикладной точки зрения частные случаи данной нелинейной краевой задачи. Все результаты анализа нелинейной краевой задачи носят аналитический характер. Их вывод опирается на качественную теорию бесконечномерных динамических систем.

We consider a boundary-value problem for the nonlinear evolution partial differential equation, given in renormalized form. This problem appears in rotary system mechanics and describes the transverse vibrations of the rotating rotor of a constant cross-section from a viscoelastic material whose ends are pivotally fixed. The question of the stability of the zero equilibrium state is studied, the critical value of the rotor speed is found, above which continuous oscillations occur. Exact solutions of the boundary-value problem are found in the form of single-mode functions with respect to the spatial variable and functions periodic in time. The stability conditions for such solutions are derived, and in some cases an analysis of the stability conditions is given. The paper shows the absence of multimode time-periodic solutions. The basic and important (from an applied point of view) particular cases of this nonlinear boundary-value problem are analyzed. All the results of the analysis of a nonlinear boundary-value problem are analytical. Their conclusion is based on the qualitative theory of infinite-dimensional dynamical systems.

В этой статье мы предлагаем новый метод численной аппроксимации для решения единственного решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра. Нас интересует особая форма этого уравнения, в которой производная искомого решения появляется под знаком интеграла нелинейным образом. Наше видение основано на двух разных подходах: мы используем метод Нистрёма для преобразования интеграла в конечную сумму, используя формулу численного интегрирования, затем мы используем метод численной обратной разностной производной для приближения к производной нашего решения. Такое сопоставление двух разных методов, первого результата численной обработки интегральных уравнений и второго результата численной обработки дифференциальных уравнений, дает новую нелинейную систему для приближения к решению нашего уравнения. Мы показываем, что система имеет единственное решение и что это численное решение идеально сходится к нашему решению. Раздел посвящен численным тестам, в которых мы показываем эффективность нашего нового видения по сравнению с двумя методами, основанными только на численном интегрировании.

In this article, we propose a new numerical approximation method to deal with the unique solution of the nonlinear integro-differential Volterra equation. We are interested in a very particular form of this equation, in which the derivative of the sought solution appears under the integral sign in a nonlinear manner. Our vision is based on two different approaches: We use the Nyström method to transform the integral into a finite sum using a numerical integration formula, then we use the numerical backward difference derivative method to approach the derivative of our solution. This collocation between two different methods, the first outcome of the numerical processing of integral equations and the second outcome of the numerical processing of differential equations, gives a new nonlinear system for approaching the solution of our equation. We show that the system has a unique solution and that this numerical solution converges perfectly to our solution. A section is dedicated to numerical tests, in which we show the effectiveness of our new vision compared to two methods based only on numerical integration.

Работа посвящена развитию полиэдральных методов решения двух задач управления линейными многошаговыми системами с неопределенностями при фазовых ограничениях — задач терминального сближения и уклонения. Они возникают в системах с двумя управлениями, где цель одного — привести траекторию на заданное конечное множество в заданный момент времени, не нарушая фазовых ограничений, цель другого — противоположна. Предполагается, что конечное множество — параллелепипед, управления стеснены параллелотопозначными ограничениями, фазовые ограничения заданы в виде полос. Представлены методы решения обеих задач с использованием полиэдральных (параллелотопо- или параллелепипедо-значных) трубок. Методы решения задачи сближения предложены автором ранее, но здесь исследуются их дополнительные свойства. В частности, для случая без фазовых ограничений найдены гарантированные оценки для траектории, обеспечивающие ее нахождение внутри трубки. Даны удобные достаточные условия, гарантирующие получение невырожденных сечений в процессе вычислений. Для задачи уклонения сначала рассматривается общая схема решения, а затем предлагаются полиэдральные методы. Приводятся и сравниваются целые параметрические семейства внешних и внутренних полиэдральных оценок трубок разрешимости обеих задач. Приведен иллюстрирующий пример.

The paper is devoted to elaboration of polyhedral techniques for solving two control problems for linear discrete-time systems with uncertainties under state constraints, namely, the terminal approach problem and the terminal evasion one. Such problems arise in systems with two controls, where the aim of the first is to steer the trajectory onto a given terminal set at a given instant without violating the state constraints, the aim of the other is opposite. It is assumed that the terminal set is a parallelepiped, the controls are bounded by parallelotope-valued constraints, and the state constraints are given in the form of so-called zones. We present techniques for solving both problems basing on polyhedral (parallelotope-valued or parallelepiped-valued) tubes. The techniques for solving the approach problem were proposed by the author earlier, but here additional properties of them are investigated. In particular, for the case without state constraints, guaranteed estimates are found for the trajectory that ensure that it is inside the tube. Convenient sufficient conditions are given to guarantee the obtaining of nondegenerate cross-sections during the calculations. For the evasion problem, a common solution scheme is considered, and then polyhedral techniques are proposed. The whole parametric families of external and internal polyhedral estimates for the solvability tubes for both problems are presented and compared. An illustrative example is given.

Рассматриваются классы функций f:R→U со значениями в метрическом пространстве (U,ρ), преобразования Бохнера которых являются рекуррентными и почти рекуррентными функциями. Улучшены полученные ранее результаты о равномерной аппроксимации функций из рассматриваемых классов элементарными функциями из этих же классов. Эти результаты находят применение в исследовании вопроса о существовании удовлетворяющих ряду дополнительных условий почти рекуррентных сечений многозначных отображений. В последней части работы доказан вариант теоремы Лузина для рекуррентных функций.

We consider the classes of functions f:R→U, taking values in a metric space (U,ρ), which have Bochner transforms from the classes of recurrent functions and almost recurrent functions. We improve the preceding results on the uniform approximation of functions from classes under consideration by elementary functions from the same classes. These results can be applied to the investigation of the problem of the existence of almost recurrent selections for multivalued maps. The selections are supposed to satisfy a number of additional conditions. In the last section of the paper the variant of Lusin's theorem for recurrent functions is proved.

Теория управления - активно развивающийся в настоящее время раздел современной математики. Класс задач, изучаемый в рамках этой теории, достаточно обширен и включает как вопросы, связанные с существованием решений, так и вопросы, связанные с эффективными способами построения управляющих воздействий. Один из подходов к решению задач управления при неполной информации был предложен в основополагающей статье Ю.С. Осипова, опубликованной в журнале «Успехи математических наук» в 2006 году. В дальнейшем этот подход, названный методом пакетов программ, получил развитие, в частности, в статьях, цитированных в настоящей работе. Указанный подход основан на подходящей модификации известного в теории позиционных дифференциальных игр метода неупреждающих стратегий (квазистратегий) для решения задач управления при неизвестном начальном состоянии. Как известно, квазистратегии, отражающие свойства вольтерровости программных реализаций управлений с обратной связью на соответствующие программные возмущения, ориентированы на исследование задач с известным начальным состоянием при наличии неизвестных динамических возмущений. В стандартных задачах управления с неполной информацией динамические возмущения, как правило, отсутствуют, а неполнота информации обусловлена дефицитом информации о начальном состоянии системы. Аналогом свойств неупреждаемости для задач с неизвестными начальными состояниями и стали пакеты программ. Следует отметить, что во всех предыдущих исследованиях, связанных с методом пакетов программ, рассматривались задачи наведения на одно-единственное целевое множество. В настоящей работе для линейной стационарной управляемой динамической системы рассмотрена задача гарантированного наведения на семейство целевых множеств в случае неполной информации о начальном состоянии. Установлен критерий разрешимости этой задачи, основанный на методе пакетов программ, и приведен иллюстрирующий пример.

Control theory is a section of modern mathematics being actively developed at present time. The class of problems investigated within the framework of this theory is quite extensive and includes issues related to the existence of solutions as well as issues related to the effective methods for constructing controls. One of the approaches to solving control problems under lack of information was suggested by Yu.S. Osipov in the fundamental paper published in the Russian Mathematical Surveys in 2006. Later, this approach, called the method of program packages, was developed, in particular, in the articles cited in this paper. This approach is based on a suitable modification of the method of non-anticipatory strategies (quasi-strategies) for solving control problems with unknown initial states. As is known, quasi-strategies reflecting the Volterra properties of program realizations of closed-loop controls in corresponding program disturbances are oriented to the investigation of problems with known initial states under the presence of unknown dynamical disturbances. Such disturbances are usually absent in standard control problems with incomplete information and incompleteness of information is due to a lack of information about the initial state of the system. So, program packages became an analogue of the properties of nonanticipativeness for problems with unknown initial states. It should be noted that in all previous works related to the method of program packages, the guidance problems to one single target set were considered. In the present paper the guaranteed guidance problem to a collection of target sets under incomplete information about the initial state is considered for a linear autonomous control dynamical system. The criterion for the solvability of that problem is established. It is based on the method of program packages. An illustrative example is given.

В данной работе изучены сечения производящего ряда для решений линейного многомерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами и найдены рекуррентные соотношения, связывающие такие сечения. Как следствие, доказан многомерный аналог теоремы Муавра о рациональности сечений производящего ряда в зависимости от вида начальных данных задачи Коши для многомерного разностного уравнения. Для задач о числе путей на целочисленной решетке показано, что при подходящем выборе шагов сечения их производящего ряда представляют известные последовательности многочленов (Фибоначчи, Пелля и др.).

In this paper, we study the sections of the generating series for solutions to a linear multidimensional difference equation with constant coefficients and find recurrent relations for these sections. As a consequence, a multidimensional analogue of Moivre's theorem on the rationality of sections of the generating series depending on the form of the initial data of the Cauchy problem for a multidimensional difference equation is proved. For problems on the number of paths on an integer lattice, it is shown that the sections of their generating series represent the well-known sequences of polynomials (Fibonacci, Pell, etc.) with a suitable choice of steps.

Метод малого параметра Пуанкаре активно применяется в небесной механике, а также в теории дифференциальных уравнений и в ее важном разделе — оптимальном управлении. В предлагаемой статье данный метод используется для построения явного вида равновесия по Нэшу и Бержу в дифференциальной позиционной игре с малым влиянием одного из игроков на скорость изменения фазового вектора.

The Poincaré small parameter method is actively used in celestial mechanics, as well as in the theory of differential equations and in its important section called optimal control. In this paper, the mentioned method is used to construct an explicit form of Nash and Berge equilibrium in a differential positional game with a small influence of one of the players on the rate of change of the state vector.

Рассматривается управляемая механическая система с сухим трением и позиционным импульсным или позиционным разрывным управлением. Она может быть представлена в виде уравнений Лагранжа второго рода:

A(t,q)d²q/dt²=g(t,q,dq/dt)+Q^A(t,q,dq/dt)+Q^T(t,q,dq/dt)+u, t∈I=[t₀,t₀+T]. (1)

Целью управления является  движение системы по  множеству S={(t,q,dq/dt)∈I×Rⁿ×Rⁿ: σ(t,q,dq/dt)=0} (задача стабилизации) или в окрестности этого множества (задача сближения). Первая задача решается с использованием  позиционного управления релейного типа с ограниченными ресурсами, для которых режим декомпозиции является устойчивым скользящим режимом системы (1). При недостаточности ресурсов обычного разрывного управления движение системы в окрестности  множества S происходит при помощи высокочастотных импульсных воздействий на нее в дискретные моменты времени в импульсно-скользящем режиме, равномерный предел которого (идеальный импульсно-скользящий режим) совпадает с режимом декомпозиции. Отличительной особенностью поставленных задач является наличие в системе (1) сил сухого трения, которые, вообще говоря, могут рассматриваться как некоторые неуправляемые разрывные или многозначные возмущения.

Основные понятия даны во введении статьи. В первом разделе показана связь между идеальными импульсно-скользящими режимами включения

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+u,

где u - позиционное импульсное управление, и скользящими режимами системы

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+B(t,x)ũ(t,x)

с позиционным разрывным управлением. Второй раздел посвящен системам вида (1). В третьем разделе рассматривается важное для приложений целевое множество S системы (1), которое определяется векторной функцией σ(t,q,dq/dt)=dq/dt-φ(t,q). Для последнего случая использованы  более простые и содержательные условия, гарантирующие существование скользящих режимов для системы с позиционным разрывным управлением. В заключении рассмотрен пример.

We consider a controlled mechanical system with dry friction and positional pulse or positional discontinuous control. It can be presented in a form of Lagrange equations of the second kind

A(t,q)d²q/dt²=g(t,q,dq/dt)+Q^A(t,q,dq/dt)+Q^T(t,q,dq/dt)+u, t∈I=[t₀,t₀+T]. (1)

The goal of the control is the motion of the system (1) in set S={(t,q,dq/dt)∈I×Rⁿ×Rⁿ: σ(t,q,dq/dt)=0} (problem of stabilization) or in the neighborhood of set S (approach problem). The first problem is solved with discontinuous positional control of relay type with limited resources, for which a decomposition mode is a stable sliding mode of system (1). In case of insufficiency of resources of discontinuous control the motion of the controlled system in the neighborhood of set S can be implemented under high-frequency impacts on the system in discrete time moments in the pulse-sliding mode, the uniform limit of which (an ideal pulse-sliding mode) is equal to the decomposition mode. The distinctive feature of the assigned problems is dry friction in the system (1), and said dry fiction, generally speaking, can be considered as uncontrollable discontinuous or multivalued perturbations. 

Main definitions are given in the introduction of the article. In the first section the connection between ideal pulse-sliding modes of inclusion

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+u,

where u is a positional pulse control, and sliding modes of system

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+B(t,x)ũ(t,x)

with a positional discontinuous control is considered. The second section is devoted to systems of type (1). In the third section we consider set S, which is important in relation to applications and is defined by the vector function σ(t,q,dq/dt)=dq/dt-φ(t,q). For the last case more simple and informative conditions of the existence of sliding modes for a system with discontinuous controls were used. An example was considered in conclusion.

В последние два десятилетия углеродные нанотрубки активно исследуются в физической литературе, что обусловлено многообещающими перспективами их применения в микроэлектронике; в то же время интересные математические свойства используемых при этом гамильтонианов, к сожалению, часто остаются без должного внимания математиков. В настоящей статье проведено математически строгое исследование спектральных свойств гамильтониана $H_{\varepsilon}=H_0+\varepsilon V$ где гамильтониан электрона в углеродной нанотрубке типа «зигзаг» $H_0$ записан в приближении сильной связи, а оператор $\varepsilon V$ (потенциал) имеет вид

$$(\varepsilon V\psi )(n)=\varepsilon { V_1\psi _1(n)\choose V_2\psi _2(n)}\delta_{n0}$$

здесь $\varepsilon >0$, $V_1,V_2$ - вещественные числа, $\delta_{n0}$ - символ Кронекера. Гамильтониан $H_{\varepsilon}$ отвечает углеродной нанотрубке с примесью, равномерно распределенной в сечении нанотрубки. Данный гамильтониан является разностным оператором, определенным на функциях из $(l^2(\Omega ))^2$, где $\Omega =\mathbb Z\times \{ 0,1,\ldots,N-1\}$, $N\geqslant 2$, удовлетворяющих периодическим граничным условиям. В статье, в частности, доказано, что для каждой подзоны спектра вблизи одной из граничных точек подзоны в случае малых потенциалов существует ровно один квазиуровень, то есть собственное значение или резонанс. Для квазиуровней получены асимптотические формулы вида

$$\lambda _l^{\pm}= \pm \Bigl|2\cos\frac{\pi l}{N}+1\Bigr|\cdot\Bigl(1+\frac{\varepsilon^2(V_1+V_2)^2}{16\cos\frac{\pi l}{N}}\Bigr)
+O(\varepsilon^3),$$

где $l$ - номер подзоны, $N$ - число атомов в сечении нанотрубки, $\pm$ - знак $\lambda$. Также найдено условие того, когда квазиуровень является собственным значением.

In the past two decades, carbon nanotubes have been actively investigated in the physics literature, because of the promising prospects for their use in microelectronics; at the same time, interesting mathematical properties of used Hamiltonians, unfortunately, are often overlooked by mathematicians. In this paper, we carry out the mathematically rigorous investigation of spectral properties of the Hamiltonian $H_{\varepsilon}=H_0+\varepsilon V$, where the Hamiltonian $H_0$ of an electron in a zigzag carbon nanotube is written in the tight-binding approach, and the operator $\varepsilon V$ (potential) has the form

$$(\varepsilon V\psi )(n)=\varepsilon { V_1\psi _1(n)\choose V_2\psi _2(n)}\delta_{n0}$$

(here $\varepsilon >0$, $V_1,V_2$ are real numbers, $\delta_{n0}$ is the Kronecker delta). The Hamiltonian $H_{\varepsilon}$ corresponds to the carbon nanotube with an impurity uniformly distributed over the cross section of the nanotube. This Hamiltonian is the difference operator defined on functions from $(l^2(\Omega ))^2$, where $\Omega =\mathbb Z\times \{ 0,1,\ldots,N-1\}$, $N\geqslant 2$, satisfying the periodic boundary conditions. In particular, in this paper we prove that for each subband of the spectrum near one of the boundary points of the subband exactly one quasilevel (i.e. eigenvalue or resonance) exists in the case of small potentials. For quasilevels, the asymptotic formulas of the form

$$\lambda _l^{\pm}= \pm \Bigl|2\cos\frac{\pi l}{N}+1\Bigr|\cdot\Bigl(1+\frac{\varepsilon^2(V_1+V_2)^2}{16\cos\frac{\pi l}{N}}\Bigr)
+O(\varepsilon^3),$$

are obtained, where $l$ is the subband number, $N$ is the number of atoms in the cross section of the nanotube, and $\pm$ is the sign of the $\lambda$. Also, we find the condition when a quasilevel is an eigenvalue.

Статья посвящена решению обратной граничной задачи для стержня, состоящего из композиционных материалов. В обратной задаче требуется, используя информацию о температуре теплового потока в разделе сред, определить температуру на одном из концов стержня. В работе представлен метод проекционной регуляризации, который позволил приближенно оценить погрешность полученного решения обратной задачи. Для проверки вычислительной эффективности этого метода были проведены тестовые расчеты.

The article is devoted to solving an inverse boundary value problem for a rod consisting of composite materials. In the inverse problem, it is required, using information about the temperature of the heat flow in the media section, to determine the temperature at one of the ends of the rod. The paper presents a method of projection regularization, which made it possible to approximately estimate the error of the obtained solution to the inverse problem. To check the computational efficiency of this method, test calculations were carried out.