Все выпуски

Рассматриваются вопросы разрешимости краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений. Предлагаются утверждения, позволяющие получать условия существования единственного решения, неотрицательности функции Грина и фундаментального решения однородного уравнения. Для применения этих утверждений требуется задать «эталонную» краевую задачу, обладающую соответствующими свойствами, и определить некоторый оператор по приведенному правилу через операторы, порожденные исследуемой и «эталонной» задачами. Если спектральный радиус этого оператора меньше 1, то рассматриваемая краевая задача однозначно разрешима. Аналогично: для получения условий неотрицательности функции Грина и фундаментального решения требуется определить по приведенному в работе правилу специальный оператор и проверить его положительность. Рассмотрен пример применения полученных утверждений к конкретной краевой задаче с интегральным краевым условием для уравнения, содержащего отклонения в аргументе неизвестной функции и ее производной.

We consider the issues of solvability of boundary value problems for linear functional-differential equations. Statements allowing one to obtain conditions for the existence of a unique solution and for non-negativity of the Green's function, and to obtain a fundamental solution to the homogeneous equation are suggested. In order to apply these statements, one needs to define a “reference” boundary value problem that possesses the corresponding properties and to define an operator by means of the operators generated by the problem under study and the “reference” problem according to the given rule. If the spectral radius of this operator is less than 1, then the boundary value problem under consideration is uniquely solvable. Similarly, in order to obtain conditions for the nonnegativity of the Green's function and the fundamental solution, it is required to determine a special operator by the rule given in the paper and to verify its positivity. An example of application of the statements obtained to a particular boundary value problem with an integral boundary condition for the equation containing argument deviations to the unknown function and to its derivative is considered.

Построен характеристический многочлен спектральной задачи дифференциального уравнения первого порядка на отрезке со спектральным параметром в краевом условии с интегральным возмущением, которое является целой аналитической функцией от спектрального параметра. На основе формулы характеристического многочлена доказаны выводы об асимптотике спектра возмущенной спектральной задачи.

This work is devoted to the construction of a characteristic polynomial of the spectral problem of a first-order differential equation on an interval with a spectral parameter in a boundary value condition with integral perturbation which is an entire analytic function of the spectral parameter. Based on the characteristic polynomial formula, conclusions about the asymptotics of the spectrum of the perturbed spectral problem are established.

Рассматриваются структурные, аппроксимативные и спектральные свойства нётеровых операторов индекса n и (−n), действующих между банаховыми пространствами B и D, где D изоморфно прямой сумме пространства B и конечномерного пространства E размерности n. Раскрыта роль теоремы С.М. Никольского о фредгольмовом операторе в изучении указанных свойств, а также в вопросе разрешимости уравнений с краевыми неравенствами. В случае сепарабельного гильбертова пространства B для однозначно разрешимых краевых задач предлагается основанная на разложении Э. Шмидта компактного оператора схема дискретизации, которая позволяет применить абстрактный вариант теоремы Рябенького–Филиппова о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости.

There are considered the structural, approximated and spectral properties of Fredholm operators of index n and (−n), acting between Banach spaces B and D, where D is isomorphic to the direct sum of B and finite–dimensional space E of dimension n. There is demonstrated the role of S.M. Nikol’skii theorem on Fredholm operator in the study of these properties as well as in the issue of solvability equations with boundary inequalities. For boundary value problems which are uniquely solvable, in the case of a separable Hilbert space B, based on Schmidt decomposition for a compact operator a scheme of discretization is proposed, and it allows application of an abstract version of Ryaben’kii–Filippov theorem on the relationship of approximation, stability and convergence.

В данной статье изучена задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в полубесконечном параллелепипеде. На основании свойства полноты систем собственных функций двух одномерных спектральных задач доказана теорема единственности. Для доказательства существования решения задачи использован спектральный метод Фурье, основанный на разделении переменных. Решение поставленной задачи построено в виде суммы двойного ряда Фурье-Бесселя. При обосновании равномерной сходимости построенного ряда использованы асимптотические оценки функций Бесселя действительного и мнимого аргумента. На их основе получены оценки для каждого члена ряда, позволившие доказать сходимость ряда и его производных до второго порядка включительно, а также теорему существования в классе регулярных решений.

This article studies the Keldysh problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients in a semi-infinite parallelepiped. Based on the completeness property of eigenfunction systems of two one-dimensional spectral problems, the uniqueness theorem is proved. To prove the existence of a solution to the problem, the Fourier spectral method based on the separation of variables is used. The solution to this problem is constructed in the form of a sum of a double Fourier-Bessel series. In substantiating the uniform convergence of the constructed series, we used asymptotic estimates of the Bessel functions of the real and imaginary argument. Based on them, estimates were obtained for each member of the series, which made it possible to prove the convergence of the series and its derivatives to the second order inclusive, as well as the existence theorem in the class of regular solutions

В настоящей работе мы изучаем спектральную задачу для дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и с краевыми условиями типа Дирихле. Построена функция Грина изучаемой краевой задачи. Получены равномерные оценки функций Грина рассматриваемых краевых задач. Установлена равносходимость разложений произвольной функции из класса $L_{1}(-1,1)$ по собственным функциям двух дифференциальных операторов второго порядка с инволюцией с краевыми условиями типа Дирихле. Мы используем интегральный метод, основанный на функции Грина дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и со спектральным параметром. Как следствие из доказанной теоремы о равносходимости разложений по собственным функциям, мы доказываем базисность в пространстве $L_{2}(-1,1)$ собственных функций спектральной задачи с непрерывным комплекснозначным коэффициентом $q(x).$

In the present paper we study the spectral problem for the second-order differential operators with involution and boundary conditions of Dirichlet type. The Green's function of this boundary problem is constructed. Uniform estimates of the Green's functions for the boundary value problems considered are obtained. The equiconvergence of eigenfunction expansions of two second-order differential operators with involution and boundary conditions of Dirichlet type for any function in $L_{2}(-1,1)$ is established. We use an integral method based on the application of the Green's function of a differential operator with involution and spectral parameter. As a corollary from the equiconvergence theorem, it is proved that the eigenfunctions of the spectral problem form the basis in $L_{2}(-1,1)$ for any continuous complex-valued coefficient $q(x)$.

В настоящей работе исследуется двумерная краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе, которая является предельной для сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием. Доказана теорема о существовании собственных элементов исследуемой краевой задачи. В частности, получены оценки для собственных значений, выраженные через постоянные Ламэ и параметр, определяющий ширину полуполосы, а также уточнена структура соответствующих собственных вектор-функций, определяющая их поведение при удалении от основания полуполосы. Более того, найдены явные выражения собственных значений предельной краевой задачи с точностью до решения системы алгебраических уравнений. Результаты, полученные в данной работе, позволят построить и строго обосновать асимптотическое разложение собственного значения сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием с точностью до степени малого параметра, характеризующего размер отверстия.

In this paper, we study a two-dimensional Steklov-type boundary value problem for the Lamé operator in a half-strip, which is the limiting problem for a singularly perturbed boundary-value problem in a half-strip with a small hole. A theorem on the existence of eigenelements of the boundary value problem under study is proved. In particular, we obtain estimates for the eigenvalues expressed in terms of the Lamé constants and a parameter that determines the width of the half-strip, and refine the structure of the corresponding eigenfunctions, which determines their behavior as their argument move away from the base of the half-strip. Moreover, explicit expressions for the eigenvalues of the limiting boundary value problem are found up to the solution of a system of algebraic equations. The results obtained in this paper will make it possible to construct and rigorously justify an asymptotic expansion of the eigenvalue of a singularly perturbed boundary value problem in a half-strip with a small round hole in powers of a small parameter that determines the diameter of the hole.

В данной работе рассматривается уравнение Кортевега–де Фриза отрицательного порядка с самосогласованным интегральным источником. Показано, что уравнение Кортевега–де Фриза отрицательного порядка с самосогласованным интегральным источником может быть проинтегрировано методом обратной спектральной задачи. Определена эволюция спектральных данных оператора Штурма–Лиувилля с периодическим потенциалом, связанного с решением уравнения Кортевега–де Фриза отрицательного порядка с самосогласованным интегральным источником. Полученные результаты позволяют применить метод обратной задачи для решения уравнения Кортевега–де Фриза отрицательного порядка с самосогласованным источником в классе периодических функций.

In this paper, we consider the negative order Korteweg–de Vries equation with a self-consistent integral source. It is shown that the negative-order Korteweg–de Vries equation with a self-consistent integral source can be integrated by the method of the inverse spectral problem. The evolution of the spectral data of the Sturm–Liouville operator with a periodic potential associated with the solution of the negative order Korteweg–de Vries equation with a self-consistent integral source is determined. The obtained results make it possible to apply the inverse problem method to solve the negative order Korteweg–de Vries equation with a self-consistent source in the class of periodic functions.

Последние 15 лет в физической литературе активно изучаются майорановские локализованные состояния (МЛС) и сопутствующие их возникновению явления, такие, как изменение кондактанса и эффект Джозефсона, что обусловлено вероятным применением МЛС при создании квантового компьютера. В статье изучены собственные функции одномерного оператора Боголюбова-де Жена с дельтаобразным потенциалом в нуле, описывающие локализованные состояния с энергией в лакуне спектра (сверхпроводящей щели). Найдены вероятности прохождения в задаче рассеяния для этого оператора, когда энергии близки к границе сверхпроводящей щели. Эти задачи исследовались как для единого на всей прямой сверхпроводящего порядка, определяемого вещественной константой $\Delta,$ так и для сверхпроводящего порядка, определяемого функцией $\Delta \theta (-x)+\Delta e^{i\varphi} \theta (x)$ для $\varphi=0,\pi$ (т.е. для нулевого сверхпроводящего тока и тока, близкого к критическому). Используемый гамильтониан можно рассматривать как простейшую модель перехода Джозефсона. Доказано, что в обоих случаях существуют два МЛС, но лишь при определенных значениях параметров, т.е. МЛС неустойчивы. При этом вероятность прохождения равна нулю в обоих случаях.

For the last 15 years, Majorana bounded states (MBSs) and associated phenomena, such as variation of conductance and the Josephson effect, have been actively studied in the physical literature. Research in this direction is motivated by a highly probable use of MBSs in quantum computing. The article studies the eigenfunctions of the one-dimensional Bogolyubov-de Gennes operator with a delta-shaped potential at zero, describing localized states with energy in the spectral gap (superconducting gap). The transmission probabilities are found in the scattering problem for this operator, when the energies are close to the boundary of the superconducting gap. These problems are studied both for a superconducting order that is the only one on the whole straight line and is defined by the real constant $\Delta,$ and for a superconducting order defined by the function $\Delta\theta(-x)+\Delta e^{i\varphi}\theta(x)$ for $\varphi=0,\pi$ (i.e., for zero superconducting current and for current close to critical). The Hamiltonian used can be considered as the simplest model of the Josephson junction. It is proved that in both cases there are two MBSs, but with certain values of the parameters, i.e., MBSs are unstable. Moreover, the probability of passage is zero in both cases.

В данной статье для одного дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя в прямоугольной области сформулированы две нелокальные начально-граничные задачи. Исследована корректность одной из поставленных задач. При этом применением метода разделения переменных к изучаемой задаче получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка. Доказана самосопряженность последней задачи, откуда следует существование системы ее собственных функций, а также ортонормированность и полнота этой системы. Далее, построена функция Грина спектральной задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. С помощью этого интегрального уравнения и теоремы Мерсера исследована равномерная сходимость некоторых билинейных рядов, зависящих от найденных собственных функций. Установлен порядок коэффициентов Фурье. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Доказана равномерная сходимость этого ряда, а также рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Методом спектрального анализа доказана единственность решения задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

In the present paper, two non-local initial-boundary value problems have been formulated for a partial differential equation of high even order with a Bessel operator in a rectangular domain. The correctness of one of the considered problems has been investigated. To do this, applying the method of separation of variables to the problem under consideration, the spectral problem was obtained for an ordinary differential equation of high even order. The self-adjointness of the last problem was proved, which implies the existence of the system of its eigenfunctions, as well as orthonormality and completeness of this system. Further, the Green's function of the spectral problem was constructed, with the help of which it was equivalently reduced to the Fredholm integral equation of the second kind with symmetrical kernel. Using this integral equation and Mercer's theorem, the uniform convergence of some bilinear series depending on found eigenfunctions has been studied. The order of the Fourier coefficients was established. The solution of the considered problem has been written as the sum of a Fourier series with respect to the system of eigenfunctions of the spectral problem. The uniform convergence of this series and also the series obtained from it by term-by-term differentiation was proved. Using the method of spectral analysis, the uniqueness of the solution of the problem was proved. An estimate for the solution of the problem was obtained, from which its continuous dependence on the given functions follows.

В статье рассматривается оператор Штурма-Лиувилля с вещественным квадратично интегрируемым потенциалом. Граничные условия являются неразделенными. В одно из этих граничных условий входит квадратичная функция спектрального параметра. Изучены некоторые спектральные свойства оператора. Доказаны вещественность и отличность от нуля собственных значений и отсутствие присоединенных функций к собственным функциям, выведена асимптотическая формула для спектра оператора и получено представление характеристической функции в виде бесконечного произведения. Результаты статьи играют важную роль при решении обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов.

The article considers the Sturm-Liouville operator with a real quadratically integrable potential. Boundary conditions are non-separated. One of these boundary conditions includes the quadratic function of the spectral parameter. Some spectral properties of the operator are studied. It is proves that eigenvalues are real and non-zero and there are no associated functions to the eigenfunctions. An asymptotic formula for the spectrum of the operator is derived, and a representation of the characteristic function as an infinite product is obtained. The results of the paper play an important role in solving inverse problems of spectral analysis for differential operators.