Все выпуски

Рассматривается задача о назначении спектра показателей Ляпунова линейной управляемой системы с дискретным временем $$x(m+1)=A(m)x(m)+B(m)u(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\ u\in\mathbb R^{k}, \qquad (1)$$ посредством линейной по фазовым переменным обратной связи $u(m)=U(m)x(m)$ в малой окрестности спектра показателей свободной системы $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (2)$$ Дополнительно требуется, чтобы норма матрицы обратной связи $U(\cdot)$ удовлетворяла липшицевой оценке по отношению к требуемому смещению показателей. Это свойство называется пропорциональной локальной управляемостью полного спектра показателей Ляпунова замкнутой системы $$x(m+1)=\bigl(A(m)+B(m)U(m)\bigr)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (3)$$ Построен пример, показывающий, что найденные ранее достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (3) (равномерная полная управляемость системы (1) и устойчивость показателей Ляпунова свободной системы (2)) не являются необходимыми.

We consider a problem of assigning the Lyapunov spectrum for a linear control discrete-time system $$x(m+1)=A(m)x(m)+B(m)u(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\ u\in\mathbb R^{k}, \qquad (1)$$ in a small neighborhood of the Lyapunov spectrum of the free system $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\qquad (2) $$ by means of linear feedback $u(m)=U(m)x(m)$. We assume that the norm of the feedback matrix $U(\cdot)$ satisfies the Lipschitz estimate with respect to the required shift of the Lyapunov spectrum. This property is called proportional local assignability of the Lyapunov spectrum of the closed-loop system $$x(m+1)=\bigl(A(m)+B(m)U(m)\bigr)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (3)$$ We previously proved that uniform complete controllability of system (1) and stability of the Lyapunov spectrum of free system (2) are sufficient conditions for proportional local assignability of the Lyapunov spectrum of closed-loop system (3). In this paper we give an example demonstrating that these conditions are not necessary.

Изучается устойчивость линейных автономных скалярных разностных уравнений с комплексными коэффициентами. Для уравнения с произвольным количеством запаздываний приводится простое доказательство линейной связности его области устойчивости в пространстве коэффициентов. Этот результат позволяет утверждать, что областью устойчивости уравнения в пространстве коэффициентов является область $D$-разбиения этого пространства, содержащая начало координат. Далее рассматриваются некоторые уравнения с двумя запаздываниями и комплексными коэффициентами, для которых даются подробные аналитические и геометрические описания областей равномерной и экспоненциальной устойчивости.

We study the stability of linear autonomous scalar difference equations with complex coefficients. For an equation with an arbitrary number of delays, we propose a simple proof of the linear connectivity of the stability region in the space of coefficients. This result allows us to assert that the stability region of the equation in the space of coefficients is the region of the $D$-decomposition of this space containing the origin of coordinates. Further, we consider some equations with two delays and complex coefficients, for which we give detailed analytic and geometric descriptions of the regions of uniform and exponential stability.

Для билинейной управляемой системы с периодическими коэффициентами получены достаточные условия равномерной глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения. Доказательство основано на применении теоремы Красовского об асимптотической устойчивости в целом нулевого решения для периодических систем. Стабилизирующее управление построено по принципу обратной связи. Оно имеет вид квадратичной формы от фазовой переменной и является периодическим по времени.

Sufficient conditions for uniform global asymptotic stabilization of the origin are obtained for bilinear control systems with periodic coefficients. The proof is based on the use of the Krasovsky theorem on global asymptotic stability of the origin for periodic systems. The stabilizing control function is feedback control constructed as the quadratic form of the phase variables and depends on time periodically.

Работа посвящена исследованию свойства замкнутости относительно операции сложения множества равномерных почти периодических функций. Показано, что доказательство этого свойства, проведенное в монографии Б.П. Демидовича «Лекции по математической теории устойчивости», содержит пробел. Приведено корректное доказательство.

We study the property of the closedness of the set of uniformly almost periodic functions with respect to the operation of addition. It is shown that the proof of this property found in the monograph by B.P. Demidovich “Lectures on the mathematical theory of stability” is not quite correct. A valid proof is given.

Рассматривается выпуклая задача оптимального управления для параболического уравнения со строго равномерно выпуклым целевым функционалом, с граничным управлением и с распределенными поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства. Образы задающих поточечные фазовые ограничения операторов вкладываются в лебегово пространство суммируемых с $s$-й степенью функций при $s\in(1,2)$. В свою очередь, граничное управление принадлежит лебегову пространству с показателем суммируемости $r\in (2,+\infty)$. Основными результатами работы в рассматриваемой задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями являются регуляризованные, или, другими словами, устойчивые к ошибкам исходных данных, секвенциальные принцип Лагранжа в недифференциальной форме и поточечный принцип максимума Понтрягина.

A convex optimal control problem is considered for a parabolic equation with a strictly uniformly convex cost functional, with boundary control and distributed pointwise state constraints of equality and inequality type. The images of the operators that define pointwise state constraints are embedded into the Lebesgue space of integrable with $s$-th degree functions for $s\in(1,2)$. In turn, the boundary control belongs to Lebesgue space with summability index $r\in (2,+\infty)$. The main results of this work in the considered optimal control problem with pointwise state constraints are the two stable, with respect to perturbation of input data, sequential or, in other words, regularized principles: Lagrange principle in nondifferential form and Pontryagin maximum principle.

Работа посвящена исследованию второй начально-краевой задачи для дифференциального уравнения третьего порядка псевдопараболического типа с переменными коэффициентами в многомерной области с произвольной границей. Рассматриваемое многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром и для полученного уравнения строится локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского. С помощью принципа максимума получена априорная оценка решения локально-одномерной разностной схемы в равномерной метрике в норме $C$. Доказаны устойчивость и сходимость локально-одномерной разностной схемы.

The work is devoted to the study of the second initial-boundary value problem for a general-form third-order differential equation of pseudoparabolic type with variable coefficients in a multidimensional domain with an arbitrary boundary. In this paper, a multidimensional pseudoparabolic equation is reduced to an integro-differential equation with a small parameter, and a locally one-dimensional difference scheme by A.A. Samarskii is used. Using the maximum principle, an a priori estimate is obtained for the solution of a locally one-dimensional difference scheme in the uniform metric in the $C$ norm. The stability and convergence of the locally one-dimensional difference scheme are proved.

Рассматривается управляемая механическая система с сухим трением и позиционным импульсным или позиционным разрывным управлением. Она может быть представлена в виде уравнений Лагранжа второго рода:

A(t,q)d²q/dt²=g(t,q,dq/dt)+Q^A(t,q,dq/dt)+Q^T(t,q,dq/dt)+u, t∈I=[t₀,t₀+T]. (1)

Целью управления является  движение системы по  множеству S={(t,q,dq/dt)∈I×Rⁿ×Rⁿ: σ(t,q,dq/dt)=0} (задача стабилизации) или в окрестности этого множества (задача сближения). Первая задача решается с использованием  позиционного управления релейного типа с ограниченными ресурсами, для которых режим декомпозиции является устойчивым скользящим режимом системы (1). При недостаточности ресурсов обычного разрывного управления движение системы в окрестности  множества S происходит при помощи высокочастотных импульсных воздействий на нее в дискретные моменты времени в импульсно-скользящем режиме, равномерный предел которого (идеальный импульсно-скользящий режим) совпадает с режимом декомпозиции. Отличительной особенностью поставленных задач является наличие в системе (1) сил сухого трения, которые, вообще говоря, могут рассматриваться как некоторые неуправляемые разрывные или многозначные возмущения.

Основные понятия даны во введении статьи. В первом разделе показана связь между идеальными импульсно-скользящими режимами включения

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+u,

где u - позиционное импульсное управление, и скользящими режимами системы

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+B(t,x)ũ(t,x)

с позиционным разрывным управлением. Второй раздел посвящен системам вида (1). В третьем разделе рассматривается важное для приложений целевое множество S системы (1), которое определяется векторной функцией σ(t,q,dq/dt)=dq/dt-φ(t,q). Для последнего случая использованы  более простые и содержательные условия, гарантирующие существование скользящих режимов для системы с позиционным разрывным управлением. В заключении рассмотрен пример.

We consider a controlled mechanical system with dry friction and positional pulse or positional discontinuous control. It can be presented in a form of Lagrange equations of the second kind

A(t,q)d²q/dt²=g(t,q,dq/dt)+Q^A(t,q,dq/dt)+Q^T(t,q,dq/dt)+u, t∈I=[t₀,t₀+T]. (1)

The goal of the control is the motion of the system (1) in set S={(t,q,dq/dt)∈I×Rⁿ×Rⁿ: σ(t,q,dq/dt)=0} (problem of stabilization) or in the neighborhood of set S (approach problem). The first problem is solved with discontinuous positional control of relay type with limited resources, for which a decomposition mode is a stable sliding mode of system (1). In case of insufficiency of resources of discontinuous control the motion of the controlled system in the neighborhood of set S can be implemented under high-frequency impacts on the system in discrete time moments in the pulse-sliding mode, the uniform limit of which (an ideal pulse-sliding mode) is equal to the decomposition mode. The distinctive feature of the assigned problems is dry friction in the system (1), and said dry fiction, generally speaking, can be considered as uncontrollable discontinuous or multivalued perturbations. 

Main definitions are given in the introduction of the article. In the first section the connection between ideal pulse-sliding modes of inclusion

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+u,

where u is a positional pulse control, and sliding modes of system

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+B(t,x)ũ(t,x)

with a positional discontinuous control is considered. The second section is devoted to systems of type (1). In the third section we consider set S, which is important in relation to applications and is defined by the vector function σ(t,q,dq/dt)=dq/dt-φ(t,q). For the last case more simple and informative conditions of the existence of sliding modes for a system with discontinuous controls were used. An example was considered in conclusion.

Мы исследуем эволюцию осесимметричного двухслойного медленного течения вязкой жидкости со свободной границей, которое создается начальным рельефом границ слоев и скоростями на нижней границе. Каждый слой имеет постоянную плотность и вязкость. Предполагается, что верхний слой имеет меньшую плотность, чем нижний. На основе уравнений Рейнольдса построена система нелинейных параболических уравнений относительно поверхности и границы раздела слоев для описания этого течения. Принимая безразмерный скачок плотностей между слоями как малый параметр, мы применяем метод асимптотических разложений, чтобы выделить главное приближение для медленной эволюции уравнений движения на больших временах. Получено асимптотическое уравнение, связывающее смещения поверхности и границы раздела слоев со скоростями на нижней границе. На основе этого уравнения разработан алгоритм для расчета полей скоростей в слоях на больших временах. Для наглядного представления течения используются линии тока. Численные результаты показали устойчивость линий тока в верхнем слое при вариации скорости на нижней границе. В качестве геофизических приложений разработанный алгоритм используется для количественной оценки поля скоростей в коре под крупномасштабными кольцевыми структурами на Луне (верхний слой), создаваемого глубинными движениями в подстилающей мантии (нижний слой). Чтобы подтвердить достоверность результатов моделирования, мы сопоставляем рассчитанные поля скоростей с системами хребтов кольцевых структур, полученных из экспериментальных наблюдений. Модельное сравнение показало пространственную близость радиусов кольцевых хребтов и особых точек скорости течения на поверхности.

We study the long-time evolution of axisymmetric free-surface two-layered creeping flow subject to the initial topography of its boundaries and bottom velocities. Each layer has uniform density and viscosity. The upper layer is assumed to have a smaller density than the lower layer. Based on lubrication approximation (the Reynolds equations) the nonlinear system of diffusion-type equations with respect to the surface and interface between the layers is obtained to describe this flow. Taking the dimensionless density contrast between the layers as a small parameter, we apply the method of asymptotic expansions to extract leading-term approximation for the slowly varying large-time evolution of the governing equations. An asymptotic equation relating both surface and interface displacement to the bottom velocities is derived. Based on this equation, we develop the algorithm to calculate velocity fields within layers for large time. Streamlines are used to visualize the flow. Numerical results reveal stability of the streamlines in the upper layer under variation of the bottom velocity. As geophysical applications, the developed algorithm is used to evaluate the velocity field in the crust (the upper layer) beneath the large-scale lunar multi-ring basins influenced by deep movements in the underlying mantle (the lower layer). To validate the results of modeling, we compare the calculated velocity fields with basin ridge systems obtained by experimental observations. The model comparison has shown proximity of radii of basin rings and critical points of the surface velocity.

Результаты исследований Е.Л. Тонкова и Е.А. Панасенко распространяются на дифференциальные уравнения и управляемые системы с импульсным воздействием. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены теоремы сравнения для систем с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in[t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\},$ заданное непрерывной функцией $t\rightarrow M(t)$, где для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. Получены условия положительной инвариантности данного множества, равномерной устойчивости по Ляпунову и равномерной асимптотической устойчивости. Проведено сравнение с исследованиями других авторов, которые рассматривали вопросы устойчивости нулевого решения для аналогичных систем.

We extend the results of E.L. Tonkov and E.A. Panasenko to differential equations and control systems with impulsive actions. In terms of Lyapunov functions and the Clarke derivative we obtain comparison theorems for systems with impulsive effect. We consider the set $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in[t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\},$ defined by continuous function $t\rightarrow M(t)$, where for every $t \in \mathbb R$ the set $M(t)$ is nonempty and compact. We obtain conditions for the positive invariance of this set, the uniform Lyapunov stability and the uniform asymptotic stability. We make a comparison with the researches of other authors who have considered the zero solution stability for similar systems.

Продолжено исследование условий положительной инвариантности и асимптотической устойчивости заданного множества относительно управляемой системы с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in [t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, где функция $t\rightarrow M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены условия слабой положительной инвариантности данного множества, слабой равномерной устойчивости по Ляпунову и слабой асимптотической устойчивости. Также доказана теорема сравнения для решений систем и уравнений с импульсами, следствием которой являются условия существования решений системы, асимптотически стремящихся к нулю. Полученные результаты проиллюстрированы на примере модели конкуренции двух видов, подверженных импульсному управлению в фиксированные моменты времени.

We continue investigating the conditions of positive invariance and asymptotic stability of a given set relative to a control system with impulsive actions. We consider the set $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in[t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, given by a function $t\rightarrow M(t)$ that is continuous in the Hausdorff metric, where the set $M(t)$ is nonempty and compact for each $t \in \mathbb R$. In terms of the Lyapunov functions and the Clarke derivative, we obtain conditions for weak positive invariance, weak uniform Lyapunov stability and weak asymptotic stability of the set $\mathfrak M$. Also we prove a comparison theorem for solutions of systems and equations with impulses the consequence of which is the conditions for existence of solutions of the system that asymptotically tends to zero. The obtained results are illustrated by the example of model for competition of two species exposed to impulse control at given times.